NOMBRES

Nombres décimaux  (6e)

Les nombres que l'on rencontre le plus fréquemment sont les nombres décimaux.

Un nombre décimal s'écrit comme la somme de deux parties :

-la partie entière (située avant la virgule),

-la partie décimale .

 

Exemple

 

27,48 est un nombre décimal.

27 est sa partie entière ;  0,48 est sa partie décimale.

27,48 = 27 + 0,48.

 

Nombres entiers  (6e)

Parmi les nombres décimaux, on distingue :

-les nombres entiers dont la partie décimale est nulle.

-les nombres qui ne sont pas entiers.

Les nombres de la liste (0, 1, 2, 3, 4, ......., 9, 10, 11, 12, 13, ..........100, 101, 102, .........) sont appelés des entiers naturels.

 

Exemples

 

1) 283 est un nombre entier  (car 283 = 283,0).

 

2) 9,5 n'est pas un nombre entier.

 

Nombres et chiffres  (6e)

Un nombre décimal est formé de plusieurs chiffres.

 

Exemples

 

1) Dans 416,25 ,   4 est le chiffre des centaines,

                             1 est le chiffre des dizaines,

                             6 est le chiffre des unités,

                             2 est le chiffre de dixièmes,

                             5 est le chiffre des centièmes.

 

2) 356,4 s'écrit "trois cent cinquante six virgule quatre".

 

Multiplication et division par 10, 100 ou 1000  (6e)

-Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000, on peut déplacer la virgule du nombre respectivement de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite de façon que chacun de ses chiffres prenne une valeur 10, 100 ou 1000 fois plus grande.

 

Exemples

 

 

-Pour diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1000, on peut déplacer la virgule du nombre respectivement de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche de façon que chacun de ses chiffres prenne une valeur 10, 100 ou 1000 fois plus petite.

 

Exemples

 

 

 

 

 

Multiplication par 0,1 ; 0,01 ou 0,001  (6e)

 

Pour multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ou 0,001, on divise ce nombre respectivement par 10 ; 100 ou 1000.

 

Exemple

Fractions  (6e)

 

Exemple

 

Dans le dessin ci-dessous :

 

 

Fractions et nombres décimaux  (6e)

-Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction.

 

Exemples

    

  

 

-Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de la somme de fractions dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1000...

 

Exemple

      

 

-Certaines fractions peuvent s'écrire sous forme d'un nombre décimal (lorsque la division

  s'arrête).

 

Exemple

                    

 

-Certaines fractions ne représentent pas des nombres décimaux (lorsque la division ne

  s'arrête pas).

 

Exemple

Égalité de fractions  (6e)

Deux fractions sont égales s'il suffit de multiplier (ou de diviser) le numérateur et le dénominateur de l'une par un même nombre non nul pour obtenir l'autre.

 

Exemple

 

Dans cette figure,

 

Dans cette figure,

 

Simplification de fractions  (6e)

Simplifier une fraction, c'est la remplacer par une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus simples.

 

Exemple

 

 

 

Multiple d'un nombre entier  (5e)

 

a est un nombre entier naturel.

Les multiples de a sont les nombres de la forme k × a  (k est un nombre entier).

 

Exemple

40 est un multiple de 5 car 40 = 5 × 8.

Diviseur d'un nombre entier  (5e)

a et b sont deux entiers naturels.

a est un diviseur de b (ou a divise b) s'il existe un nombre entier naturel q tel que b = a × q.

 

Exemple

 

8 est un diviseur de 24 car 24 = 8 × 3.

Nombres relatifs  (5e)

-Les nombres positifs sont les nombres supérieurs ou égaux à 0.

Ils s'écrivent avec un signe + ou sans signe.

- Les nombres négatifs sont les nombres inférieurs ou égaux à 0.

Ils s'écrivent avec un signe -.

- Les nombres relatifs sont constitués des nombres positifs et des nombres négatifs.

- 0 est le seul nombre à la fois positif et négatif.

 

Exemples

 

1) 419 et + 46,5 sont des nombres positifs.

   -3  et  - 4,28  sont des nombres négatifs.

 

2) Prenons des températures :

    +18°C signifie 18°C au-dessus de 0°C.

    - 7°C signifie 7°C au-dessous de 0°C.

Nombres rationnels  (3e)

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme quotient de deux entiers.

Un nombre qui n'est pas rationnel est irrationnel.

 

Exemples

 

 

 

 

Nombres premiers  (3e)

 

Un nombre premier est un nombre entier qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.

 

Exemples

1) 17 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 et par 17.

2) 21 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 3, 7 et 21.

 

 

 

Crible d'Eratosthène  (3e)

 

Le crible d'Eratosthène permet de prouver si un nombre est premier ou non.

On divise ce nombre par 2, puis par 3, tant que la division n'est pas exacte, on divise par le

nombre premier immédiatement supérieur.

- Si une division est exacte, le nombre n'est pas premier.

- Si aucune division n'est exacte, on s'arrête lorsque le diviseur est inférieur au quotient.

  On peut alors conclure que le nombre est premier.

 

Exemple

Déterminons si 151 est un nombre premier ou non.

151 n'est pas divisible par 2 (il est impair).

151 n'est pas divisible par 3 (la somme de ses chiffres est 7, non multiple de 3).

151 n'est pas divisible par 5 (il ne se termine pas par 0 ou 5).

151 = 7 × 21 + 4   ;   151 n'est pas divisible par 7.

151 = 11 × 13 + 8   ;   151 n'est pas divisible par 11.

151 = 13 × 11 + 8   ;   13 > 11, on s'arrête.

151 est un nombre premier.

PGCD de deux nombres entiers  (3e)

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b est le plus grand diviseur commun à a et b.

 

Exemple

 

Déterminons le PGCD de 18 et 42.

Les diviseurs de 18 sont :  1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.

Les diviseurs de 42 sont :  1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 et 42.

Les diviseurs communs à 18 et 42 sont :  1 ; 2 ; 3 et 6.

Le PGCD de 18 et 42 est 6.

Algorithme d'Euclide  (3e)

L'algorithme d'Euclide permet de déterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b sans avoir à dresser la liste des diviseurs de a et de b.

Soit a > b, on divise a par b, on obtient :  a = b × q1 + r1.

etc...  On s'arrête lorsqu'on obtient un reste nul.

Le dernier reste non nul est alors le PGCD de a et b.

(si r1=0 , le PGCD de a et b est b).

 

Exemple

 

A l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminons le PGCD de 322 et 1078.

On divise 1078 par 322 ;     1078 = 322 × 3 + 112.

On divise 322 par 112 ;         322 = 112 × 2 + 98.

On divise 112 par 98 ;           112 = 98 × 1 + 14.

On divise 98 par 14 ;             98 = 14 × 7 + 0.

Le PGCD de 322 et 1078 est 14.

Nombres entiers premiers entre eux  (3e)

Deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux s'ils n'ont pas d'autre diviseur commun que 1 (si leur PGCD est égal à 1).

 

Exemple

 

Montrons que 20 et 63 sont premiers entre eux.

Déterminons le PGCD de 20 et 63 à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

On divise 63 par 20 ;        63 = 20 × 3 + 3.

On divise 20 par 3 ;            20 = 3 × 6 + 2.

On divise 3 par 2 ;              3 = 2 × 1 + 1.

On divise 2 par 1 ;              2 = 1 × 2 + 0.

Le PGCD de 20 et 63 est 1.

Les nombres 20 et 63 sont donc premiers entre eux.

Fractions irréductibles  (3e)

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

 

Exemple

 

car 20 et 63 sont deux nombres premiers entre eux (voir exemple précédent).

 

On obtient alors une fraction irréductible.

 

Exemple

 

Le PGCD de 322 et 1078 est 14  (voir dans les exemples précédents).