SYMÉTRIES, TRANSLATION

              ET ROTATION

Symétrie orthogonale ou axiale  (6e)

A' est le symétrique du point A par rapport à la droite d signifie que d est perpendiculaire à [AA'] en son milieu.

 

On note :  A' = sd(A).

 

Si M appartient à la droite d, le symétrique de M par rapport à d est M lui-même.

 

Le symétrique d'un segment [BC] par rapport à une droite d est un segment [B'C'] de même longueur que [BC].

 

Technique : on construit d'abord les symétriques des extrémités du segment.

 

Le symétrique d'une droite d1 par rapport à une droite d est une droite d2.

 

Technique : on construit d'abord les symétriques de deux points distincts de d1.

 

Le symétrique d'une figure constituée de segments est la figure composée des segments symétriques.

 

Technique : on construit d'abord les symétriques des extrémités de tous les segments qui composent la figure.

 

Le symétrique d'un cercle par rapport à une droite d est un cercle de même rayon.

 

Technique : on construit le symétrique O' du centre O par rapport à d puis le cercle de centre O' et de rayon r.

 

Propriété : Tout symétrique d'une figure par rapport à une droite d peut être obtenu par pliage autour de d.

 

Axe de symétrie d'une figure  (6e)

Une figure admet un axe de symétrie d si le symétrique de chacun de ses points par rapport à d est encore un point de la figure.

 

On peut effectuer un pliage autour de d et constater que les deux parties de la figure se superposent.

 

 

Voici quelques figures géométriques usuelles et leur(s) axe(s) de symétrie :

 

Triangle isocèle :

Triangle équilatéral :

Rectangle :

     

 

 

Losange :

Carré :

 

 

 

Un cercle admet une infinité d'axes de symétrie : toutes les droites passant par son centre.

Symétrie centrale  (5e)

A' est le symétrique du point A par rapport au point O signifie que O est le milieu du segment [AA'].

 

On note :  A' = sO(A).

 

Le symétrique du point O par rapport à O est O lui-même.

 

Le symétrique d'un segment [BC] par rapport à un point O est un segment [B'C'] parallèle à [BC] et de même longueur.

 

Technique : on construit d'abord les symétriques des extrémités du segment.

 

Le symétrique d'une droite d1 par rapport à un point O est une droite d2 parallèle à d1.

 

Technique : on construit d'abord les symétriques de deux points distincts de d1.

 

Le symétrique d'une figure constituée de segments est la figure composée des segments symétriques.

 

Technique : on construit d'abord les symétriques des extrémités de tous les segments qui composent la figure.

 

Le symétrique d'un cercle par rapport à

un point O est un cercle de même rayon.

 

Technique : on construit le symétrique M'

du centre M par rapport à O puis le cercle

de centre M' et de rayon r.

 

 

Propriété : Tout symétrique d'une figure par rapport à un point O peut être obtenu par demi-tour autour de O.

 

Centre de symétrie d'une figure  (5e)

Une figure admet un centre de symétrie O si le symétrique de chacun de ses points par rapport à O est encore un point de la figure.

 

On peut effectuer un demi-tour autour de O et constater que l'on retrouve encore la même figure.

 

 

Voici quelques figures géométriques usuelles et leur centre de symétrie :

 

Parallélogramme :

Rectangle :

Losange :

 

Carré :

Cercle :

 

 

 

 

Agrandissement et réduction  (4e)

 

Dans un agrandissement ou une réduction d'une figure géométrique, les angles sont conservés, les longueurs sont toutes multipliées par un même nombre (appelé rapport).

Pour un agrandissement, ce rapport est supérieur à 1.

Pour une réduction, ce rapport est inférieur à 1.

 

Exemple

Agrandissons cette figure avec un rapport de 1,5 :

 

                  

 

longueurs initiales (cm)

2

3

0,6

longueurs agrandies (cm)

3

4,5

0,9

 

          

 

 

Translation

 

 

M' est l'image du point M par la translation

       

 

Les demi-droites [AB) et [MM') sont parallèles et de même sens.

Les distances AB et MM' sont égales.

 

 

              

L'image d'un segment par une translation

est un segment parallèle et de même longueur.

 

 

 

Propriété :  Toute image d'une figure par une translation du vecteur ci-dessous peut être obtenue par glissement de la figure de longueur AB suivant la direction et le sens de la demi-droite [AB).

                               

Rotation

A' est l'image du point A par la rotation

de centre O et d'angle a° (-180 < a £ 180)

signifie que  OA = OA'  et  AÔA' = a°.

 

On choisit comme sens positif de rotation le

sens contraire de celui des aiguilles d'une montre.

 

L'image d'un segment par une rotation est un segment de même longueur.

 

Le segment [B'C'] est l'image du segment [BC]

par la rotation de centre O et d'angle a°.

 

L'image d'une figure composée de segments

par une rotation est la figure composée des

images des segments.

 

L'image d'un cercle par une rotation

est un cercle de même rayon.

 

Propriété :  Toute image d'une figure par une rotation de centre O et d'angle a° peut être obtenue en faisant tourner la figure autour du point O.

 

Figures invariantes par une rotation

Une figure est dite invariante par une rotation si son image par cette rotation coïncide avec elle-même.

 

Triangle équilatéral :

Carré :

Hexagone régulier :

 

Un cercle de centre O est invariant par toute rotation de centre O.

Propriétés de conservation : symétries (6e ; 5e)

La symétrie orthogonale, la symétrie axiale, la translation et la rotation conservent les distances.

 

Exemple

 

La symétrie orthogonale

conserve les distances :

A'B' = AB.

 

 

La symétrie orthogonale, la symétrie axiale, la translation et la rotation conservent les angles, l'alignement, les aires et les milieux.

 

Exemples

 

La translation conserve les angles :

 

DÔF = JÎK.

 

La symétrie centrale conserve l'alignement :

F, G et H sont alignés.

Leurs symétriques F', G' et H' sont aussi alignés.

 

La rotation conserve les aires :

L'aire du triangle OI'J' est égale

à l'aire du triangle OIJ.

 

La symétrie orthogonale conserve les milieux :

M est le milieu de [KL].

Son symétrique M' est bien le milieu de [K'L'].

 

 

Composée de transformations

Pour construire l'image d'une figure 1 par la composée de deux transformations, il faut d'abord construire l'image de la figure 1 par la première transformation que l'on note figure 2, puis celle de la figure 2 par la deuxième transformation que l'on note figure 3.

 

Voici l'image d'une figure par la composée de deux symétries centrales par rapport à deux points distincts O et O' :

               

 

La composée de deux symétries centrales par rapport à deux points distincts O et O'

 

Voici l'image d'une figure par la composée de deux symétries orthogonales :

 

La composée de ces deux symétries

orthogonales est la symétrie centrale

de centre O.

 

Composée de translations et addition des vecteurs

             

 

La composée de ces deux translations

 

 

 

On en déduit la relation de Chasles :