TRIANGLES

Triangle  (6e)

Un triangle est une figure fermée qui a trois côtés.

 

AEI est un triangle.

Les points A, E et I sont ses sommets.

Les segments [AE], [EI] et [AI] sont ses côtés.

AÊI, EÎA et IÂE sont ses angles.

 

Triangles particuliers  (6e)

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.

 

Le triangle DEF est isocèle en D.

DE = DF.

D est le sommet principal.

[EF] est alors la base du triangle.

 

 

Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur.

 

Le triangle GHI est équilatéral.

GH = GI = HI.

 

 

Un triangle rectangle est un triangle qui a deux côtés perpendiculaires.

 

JKL est un triangle rectangle en J.

(JK) ^ (JL).

 

Périmètre d'un triangle  (6e)

Le périmètre d'un triangle est égal à la somme des longueurs de ses trois côtés.

 

P = a + b + c.

 

Exemple

 

Un triangle a ses côtés qui mesurent 3,5 cm ; 4,5 cm et 6 cm.

Calculons son périmètre :

P = 3,5 + 4,5 + 6 = 14.

Le périmètre de ce rectangle est 14 cm.

 

Le périmètre de ce triangle isocèle est P = 2a + b.

 

Le périmètre de ce triangle équilatéral est  P = 3a.

 

Constructions de triangles  (5e)

On connaît les trois côtés d'un triangle :

ABC est un triangle tel que AB = 5 cm  ;  AC = 3,5 cm  et  BC = 2,5 cm.

 

Technique :

On construit un segment [AB] de longueur 5 cm.

L'arc de cercle de centre A et de rayon 3,5 cm et l'arc de cercle de centre B et de rayon 2,5 cm se coupent en C.

On peut alors construire le triangle ABC.

                              

 

 

On connaît un côté et deux angles :

OEF est un triangle tel que OE = 4 cm  ;  OÊF = 50°  et  EÔF = 30°.

 

Technique :

On construit un segment [OE] de longueur 4 cm.

La demi-droite d'origine O formant un angle de 30° avec [OE] et la demi-droite d'origine E formant un angle de 50° avec [OE] se coupent en F.

On peut alors construire le triangle OEF.

                                       

 

 

On connaît deux côtés et un angle :

OHI est un triangle tel que OH = 4 cm  ;  OI = 5 cm  et  HÔI = 20°.

 

Technique :

On construit un segment [OH] de longueur 4 cm.

On trace une demi-droite d'origine O formant un angle de 20° avec [OH].

On place un point I sur la demi-droite tel que OI = 5 cm.

On peut alors construire le triangle OHI.

                       

 

Aire d'un triangle  (5e)

 

Exemple

 

Un triangle a pour base 7 cm et pour hauteur 5 cm.

Calculons son aire :

L'aire du triangle est égale à 17,5 cm².

 

Inégalité triangulaire  (5e)

Dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Si ABC est un triangle, alors on a :

AB £ AC + BC   ;   AC £ AB + BC   ;   BC £ AB + AC.

Exemple

 

Est-il possible de construire un triangle DEF tel que :

DE = 5 cm ;  DF = 2 cm  et  EF = 2,5 cm ?

 

5 > 2 + 2,5   donc   DE > DF + EF

Il n'est pas possible de construire un tel triangle.

 

Angles et triangles  (5e)

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

 

EÎU + IÛE + UÊI = 180°.

 

Exemple

Déterminons pour le triangle

ci-contre l'angle AÔE :

On sait que :

EÂO = 35°   ;   AÊO = 80°.

 

La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.

AÔE + EÂO + AÊO = 180°,

AÔE + 35° + 80° = 180°,

AÔE = 180° - 35° -  80°,

AÔE = 65°.

 

Un triangle est isocèle s'il a deux angles égaux.

 

OHE est un triangle isocèle en H.

 

HÔE = H ÊO.

 

 

 

Un triangle est équilatéral s'il a trois angles égaux à 60°.

 

AIU est un triangle équilatéral.

 

AÎU = AÛI = IÂU = 60°.

 

 

Un triangle est rectangle s'il a un angle droit.

 

MNO est un triangle rectangle en O.

 

MÔN = 90°.

 

 

Un triangle qui est à la fois rectangle et isocèle a deux angles égaux à 45°.

 

Médiane d'un triangle  (5e)

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

 

Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point G qui est le centre de gravité du triangle.

 

Le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets.

 

Hauteur d'un triangle  (5e)

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au support du côté opposé à ce sommet.

 

        

 

Les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point H qui est l'orthocentre du triangle.

Médiatrice d'un triangle  (5e)

Une médiatrice d'un triangle est une droite perpendiculaire à l'un de ses côtés en son milieu.

 

Les médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point C qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

 

Bissectrice d'un triangle  (4e)

Une bissectrice d'un triangle est une demi-droite qui partage un de ses angles en deux angles de même mesure.

 

Les bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point I qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

 

Théorème des milieux  (4e)

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

 

Plan de raisonnement :

Dans le triangle ABC,

I est le milieu de [AB],

J est le milieu de [AC],

d'après le théorème des milieux,

(IJ) // (BC).

 

Réciproque du théorème des milieux  (4e)

Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle en étant parallèle au second côté, alors elle coupe le troisième en son milieu.

 

Plan de raisonnement :

Dans le triangle ABC,

I est le milieu de [AB],

La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J,

d'après la réciproque du théorème des milieux,

J est le milieu de [AC].

 

Segment des milieux  (4e)

Si un segment relie les milieux de deux côtés d'un triangle, alors il a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

 

Plan de raisonnement :

Dans le triangle ABC,

I est le milieu de [AB],

J est le milieu de [AC],

d'après la propriété précédente,

IJ = BC : 2.

 

 

Théorème de Thalès dans un triangle  (4e)

Si ABC est un triangle,

M Î [AB]   ;   N Î [AC],

(MN) // (BC),

 

Exemple

 

DEF est un triangle tel que DE = 2 cm ;  DF = 4 cm  et  EF = 5 cm.

I est le point du segment [DE] tel que DI = 0,75 cm.

La parallèle à (EF) qui passe par I coupe (DF) en J.

Calculons la distance DJ :

 

Dans le triangle DEF,

I Î [DE] ;  J Î [DF],

(IJ) // (EF),

d'après le théorème de Thalès,

 

Généralisation du théorème de Thalès  (3e)

Si ABC est un triangle,

M Î (AB)   ;   N Î (AC),

(MN) // (BC),

 

Exemple

 

RST est un triangle tel que RS = 1,5 cm ;  RT = 3 cm  et  ST = 2 cm.

E est le point de la demi-droite [SR) tel que SE = 2,5 cm.

La parallèle à (ST) passant par E coupe (RT) en F.

Calculons les distances ER et RF :

 

            

 

ER = SE – RS = 2,5 – 1,5

ER = 1 cm.

 

Dans le triangle RST,

E Î (RS) ;  F Î (RT),

(EF) // (ST),

d'après le théorème de Thalès,

 

Réciproque du théorème de Thalès  (3e)

Si A, M et B sont alignés,

A, N et C sont alignés dans le même ordre,

alors (MN) // (BC).

 

Exemple

 

RST est un triangle tel que  ST = 5 cm ;  RS = 4 cm  et  RT = 3,6 cm.

E est le point du segment [RS] tel que RE = 3 cm.

F est le point du segment [RT] tel que RF = 2,7 cm.

Montrons que   (EF) // (ST) :

 

 

Dans le triangle RST,

R, E et S sont alignés,

R, F et T sont alignés dans le même ordre,

d'après la réciproque du théorème de Thalès,

(EF) // (ST).