QUADRILATÈRES ET

       POLYGONES RÉGULIERS

Quadrilatère  (6e)

Un quadrilatère est une figure fermée qui a quatre côtés.

 

    

FGHI est un quadrilatère.

G est un sommet.

[GH] est un côté.

[GI] est une diagonale.

 

Périmètre d'une figure fermée  (6e)

Le périmètre d'une figure fermée est la somme des longueurs de ses côtés.

 

 

Le périmètre est :

JK + KL + LM + MN + NO + OJ.

 

Exemple

 

Une figure fermée a sept côtés de longueurs

6 cm, 3cm, 2 cm, 5 cm, 8 cm, 4 cm et 6 cm.

Calculons le périmètre de cette figure :

 

6 + 3 + 2 + 5 + 8 + 4 + 6 = 34.

Le périmètre de cette figure est 34 cm.

 

Rectangle  (6e)

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

 

      

 

Si un quadrilatère est un rectangle, alors :

- ses diagonales sont de même longueur (IK = JL) ;

- il a deux axes de symétrie (d1 et d2) ;

- il a un centre de symétrie (le point d'intersection O de ses diagonales).

Périmètre d'un rectangle  (6e)

   

Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est P = 2 ´ (L + l).

 

Exemple

 

Un rectangle a pour longueur 10 cm et pour largeur 6 cm.

Calculons son périmètre :

 

P = 2 ´ (L + l)   où  L = 10 cm   et   l = 6 cm.

P = 2 ´ (10 + 6)

P = 2 ´ 16 = 32.

Le périmètre du rectangle est 32 cm.

 

Aire d'un rectangle  (6e)

L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est A = L ´ l.

 

Exemple

 

Un rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 5 cm.

Calculons son aire :

 

A = L ´ l  où  L = 7 cm  et  l = 5 cm.

A = 7 ´ 5 = 35.

L'aire du rectangle est 35 cm².

 

 

 

Cerf-volant  (6e)

 

Un cerf-volant est un quadrilatère qui a deux côtés consécutifs de même longueur et les deux autres côtés de même longueur aussi.

 

                   

 

Si un quadrilatère est un cerf-volant, alors :

- ses diagonales sont perpendiculaires : (EG) ^ (FH) ;

- une diagonale passe par le milieu de l'autre ;

- une de ses diagonales est un axe de symétrie ;

- Il a deux angles opposés de même mesure.

Losange  (6e)

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.

 

     

  

Si un quadrilatère est un losange, alors :

- ses diagonales sont perpendiculaires : (MO) ^ (NP);

- il a deux axes de symétrie (d1 et d2) ;

- il a un centre de symétrie (le point d'intersection I de ses diagonales).

Périmètre d'un losange  (6e)

       

Le périmètre d'un losange de côté c est  P = 4 ´ c.

 

Exemple

 

Un losange a pour côté 7 cm.

Calculons son périmètre :

 

P = 4 ´ c   où  c = 7 cm.

P = 4 ´ 7 = 28.

Le périmètre du losange est 28 cm.

 

Carré  (6e)

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.

 

      

 

Si un quadrilatère est un carré, alors :

- il a quatre angles droits ;

- ses quatre côtés sont de même longueur ;

- ses diagonales sont perpendiculaires et de même longueur ;

- il a un centre de symétrie O ;

- il a quatre axes de symétrie  (d; d; d3 et d4).

Périmètre d'un carré  (6e)

       

Le périmètre d'un carré de côté a est  P = 4 ´ a.

 

Exemple

 

Un carré a pour côté 9 cm.

Calculons son périmètre :

 

P = 4 ´ a    où   a = 9 cm.

P = 4 ´ 9 = 36.

Le périmètre du rectangle est 36 cm.

 

Aire d'un carré  (6e)

L'aire d'un carré de côté a est  A = a ´ a = a².

 

Exemple

 

Un carré a pour côté 5 cm.

Calculons son aire :

 

A = a ´ a   où   a = 5 cm.

A = 5 ´ 5 = 25.

L'aire du carré est 25 cm².

 

Polygone  (5e)

Un polygone est une figure fermée qui a plusieurs côtés.

Un polygone qui a trois côtés est un triangle.

Un polygone qui a quatre côtés est un quadrilatère.

Un polygone qui a cinq côtés est un pentagone.

Un polygone qui a six côtés est un hexagone.

Un polygone qui a huit côtés est un octogone.

Un polygone qui a dix côtés est un décagone.

 

    

A est un sommet.

[AB] est un côté.

 

Trapèze  (5e)

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.

 

(OP) // (RQ)  donc  OPQR est un trapèze.

Les côtés parallèles sont appelés les bases.

[OP] est la petite base.

[RQ] est la grande base.

 

Un trapèze rectangle est un trapèze qui a un angle droit.

 

Un trapèze isocèle est un trapèze qui a deux côtés de même longueur.

 

d est l'axe de symétrie de ce trapèze.

 

Aire d'un trapèze  (5e)

   

L'aire d'un trapèze de grande base B, de petite base b et de hauteur h est

 

Exemple

 

Un trapèze a une grande base de 8 cm, une petite base

de 5 cm et une hauteur de 3 cm.

Calculons son aire :

 

L'aire du trapèze est 19,5 cm².

 

Parallélogramme  (5e)

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux.

 

 

  

(AE) // (UI)  et  (AU) // (EI)

donc AEIU est un parallélogramme.

 

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

- ses diagonales se coupent en leurs milieux ;

- le point d'intersection O de ces diagonales est centre de symétrie ;

- les angles opposés sont égaux (UÂE = EÎU  et  AÛI = AÊI) ;

- les côtés opposés sont de même longueur (AE = UI  et  AU = EI).

Aire d'un parallélogramme  (5e)

  

L'aire d'un parallélogramme de base b et de hauteur h est   A = b ´ h.

 

Exemple

 

Un parallélogramme a une base de 5 cm et une hauteur de 1,5 cm.

Calculons son aire :

 

A = b ´ h    où   b = 5 cm  et  h = 1,5 cm.

A = 5 ´ 1,5 = 7,5.

L'aire du parallélogramme est 7,5 cm².

 

Aire d'un losange  (5e)

      

L'aire d'un losange de

grande diagonale D et de petite

 

Exemple

 

Un losange a pour grande diagonale 8 cm et pour petite diagonale 3 cm.

Calculons son aire :

 

L'aire du losange est 12 cm².

 

Raisonnement avec le trapèze  (5e)

Si un quadrilatère a deux côtés parallèles, alors c'est un trapèze.

 

    

(AB) // (DC)

d'après la propriété précédente,

ABCD est un trapèze.

 

Raisonnement avec le parallélogramme  (5e)

1) Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.

 

   

(EF) // (HG)  et  (EH) // (FG)

d'après la propriété précédente,

EFGH est un parallélogramme.

 

2) Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en un même milieu, alors c'est un parallélogramme.

 

   

O est le milieu de [EG] et de [HF]

d'après la propriété précédente,

EFGH est un parallélogramme.

 

3) Si un quadrilatère a un centre de symétrie, alors c'est un parallélogramme.

 

Raisonnement avec le rectangle  (5e)

1) Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires, alors c'est un rectangle.

 

 

IJKL est un parallélogramme

(IJ) ^ (IL)

d'après la propriété précédente,

IJKL est un rectangle.

 

2) Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.

 

  

IJKL est un parallélogramme

IK = JL

d'après la propriété précédente,

IJKL est un rectangle.

 

3) Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.

Raisonnement avec le losange  (5e)

1) Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

 

   

MNOP est un quadrilatère

MN = NO = OP = PM

d'après la propriété précédente,

MNOP est un losange.

 

2) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.

 

   

MNOP est un parallélogramme

MN = MP

d'après la propriété précédente,

MNOP est un losange.

 

3) Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

 

   

MNOP est un parallélogramme

(MO) ^ (NP)

d'après la propriété précédente,

MNOP est un losange.

 

Raisonnement avec le carré  (5e)

1) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur, alors c'est un carré.

 

    

ABCD est un parallélogramme

(AB) ^ (AD)   et   AB = AD

d'après la propriété précédente,

ABCD est un carré.

 

2) Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c'est un carré.

 

   

ABCD est un parallélogramme

(AC) ^ (BD)   et   AC = BD

d'après la propriété précédente,

ABCD est un carré.

 

 

 

 

Parallélogramme et vecteurs

 

 

ABCD est un parallélogramme

        

Polygones réguliers  (3e)

Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles intérieurs de même mesure.

 

Le triangle équilatéral :

Le carré :

Le losange n'est pas

un polygone régulier

car tous ses angles

intérieurs ne sont pas

de même mesure.

  

 

 

L'hexagone régulier :

L'octogone régulier :

  

          

Pour construire un hexagone régulier, on trace d'abord un cercle.

On reporte ensuite six fois le rayon sur le cercle.

Pour construire un octogone régulier, on part du centre et d'un point A1. On fait tourner 7 fois ce point A1 autour du centre d'un angle de 45°.