REPÉRAGE

 

 

Repérage sur une demi-droite graduée  (6e)

 

A l'aide des nombres positifs, on peut graduer une demi-droite.

On repère alors un point de cette demi-droite par un nombre appelé abscisse du point.

 

Exemples

 

1) Plaçons sur la demi-droite graduée ci-dessous les points A et B ayant

     respectivement pour abscisses 4 et 1,5.

 

           

 

                      

Repérage sur une droite  (5e)

Avec les nombres relatifs, on peut graduer une droite.

On repère alors un point de cette droite par un nombre appelé abscisse du point.

 

Exemples

 

1) A a pour abscisse 2 ;  B a pour abscisse – 3.

    Plaçons les points A et B sur une droite graduée :

 

 

2) Sur la droite graduée ci-dessous, où 1 cm représente 100 ans, plaçons

    les points qui permettent de repérer les évènements historiques suivants :

    100 ans avant J-C :  Naissance de Jules César ;

    495 ans après J-C :  Baptême de Clovis ;

    800 ans après J-C :  Sacrement de Charlemagne comme empereur.

  

 

 

Repérage dans le plan  (5e)

Avec les nombres relatifs, on peut repérer un point M du plan par deux nombres x et y qu'on appelle les coordonnées du point.

Ces nombres se lisent sur deux droites graduées de même origine et perpendiculaires.

On note :  M (; y).

La première coordonnée x se lit sur la droite horizontale, c'est l'abscisse de M.

La deuxième coordonnée y se lit sur la droite verticale, c'est l'ordonnée de M.

 

  

Un repère orthogonal est un repère où

les droites sont perpendiculaires.

 

Lorsque, de plus, l'unité est la même sur les axes des abscisses et des ordonnées, on dit que le repère est orthonormé ou orthonormal.

 

Exemples

 

1) Dans ce repère orthonormé, on a :  A (3 ; 2).

 

    3 est l'abscisse de A.

    2 est l'ordonnée de A.

 

    La droite horizontale est l'axe des abscisses.

    La droite verticale est l'axe des ordonnées.

 

2) En géographie, on peut représenter des villes par

    des coordonnées.

 

 

    Dans le repère ci-contre où Paris est à l'origine

    et où 1 cm représente 60 km sur chaque axe,

    on a :

    Paris (0 ; 0) ;

    Lille (1 ; 4) ;

    Tours (-2 ; -3).

 

 

Distance de deux points sur une droite graduée  (5e)

A et B sont deux points d'une droite graduée, d'abscisses respectives a et b.

 

Si  a < b, alors la distance de A à B est  ba.

Si  b < a, alors la distance de A à B est  ab.

La distance de A à B est notée AB.

  

 

Exemple

 

I, A et B sont trois points repérés sur une droite graduée.

Calculons les distances IA et AB :

     

La distance de I à A  est  IA = 3 – 1 = 2.

La distance de A à B est  AB = 3 – (-2) = 3 + 2 = 5.

 

 

Coordonnées du milieu d'un segment  (5e)

Dans un repère, on a :  A (x; yA)  et  B (x; yB) .

Si M est le milieu du segment [AB]  et  M (x; yM),

 

Exemple

 

On a :  A (-2 ; 1) ;  B (4 ; -3).

M (x; yM) est le milieu de [AB].

Calculons les coordonnées de M :

 

M (1 ; -1).

Les coordonnées de M sont 1 et –1.

 

Équation de droite  (3e)

Une équation de la forme y = ax + b  où  a et b sont deux nombres fixés, est l'équation d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine f telle que f(x) = ax + b.

a est appelé le coefficient directeur de la droite.

 

Exemple

 

Construisons la droite d'équation  y = 2x + 1 :

Elle représente une fonction affine f telle que  f(x) = 2x + 1.

 

Si  x = 0,   y = 2 ´ 0 + 1 = 0 + 1 = 1;

Si  x = -1,   y = 2 ´ (-1) + 1 = -2 + 1 = -1;

Si  x = 1,   y = 2 ´ 1 + 1 = 2 + 1 = 3.

 

 

 

x

0

-1

1

y

1

-1

3

 

 

On place les points de cordonnées (0 ;1) ; (-1 ; -1) ;

(1 ; 3) et on trace la droite passant par ces trois points.

 

Distance de deux points en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, on a : A (x; yA)  et  B (x; yB) .

 

Exemple

 

On a :  C (-1 ; 2)  et  D (1 ; 0,5).

Calculons la distance CD :

 

 

 

 

Coordonnées d'un vecteur

On associe à un vecteur deux nombres relatifs qui sont ses coordonnées :

 

- la première coordonnée correspond au déplacement qui est horizontal ;

  s'il s'effectue vers la droite, c'est un nombre positif ;

  s'il s'effectue vers la gauche, c'est un nombre négatif.

 

- la deuxième coordonnée correspond au déplacement qui est vertical ;

  s'il s'effectue vers le haut, c'est un nombre positif ;

  s'il s'effectue vers le bas, c'est un nombre négatif.

 

Exemple

 

Pour aller de A vers B, en suivant le

chemin en pointillés, on se déplace :

- horizontalement de 3 unités vers la droite ;

- verticalement de 2 unités vers le haut.

 

 

Calcul des coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, on a :  A (x; yA)  et  B (x; yB) .

 

Exemple

 

On a :  E (2 ; -1)  et  F (3 ; 2).

 

 

 

Coordonnées de la somme de deux vecteurs

 

Exemple