GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

Parallélépipède rectangle  (6e)

Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide qui compte six faces rectangulaires, huit sommets et douze arêtes.

 

   

ABCD est une face.

A est un sommet.

[CD] est une arête.

  

Dans une représentation en perspective cavalière :

- les parties cachées sont en pointillés ;

- les droites parallèles sont représentées parallèles ;

- les droites perpendiculaires ne sont pas toujours représentées perpendiculaires.

Cube  (6e)

Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés.

 

ABCDEFGH est un cube.

 

Patron d'un parallélépipède rectangle ou d'un cube  (6e)

Un patron est un dessin qui permet par découpage, pliage et collage de fabriquer un solide.

 

Exemples

 

1) Construisons un patron d'un cube d'arête 1 cm :

 

   

 

2) Construisons un patron d'un parallélépipède rectangle

    de dimensions 1 cm ; 1,5 cm  et  2 cm :

 

  

 

 

Volume et unités  (6e)

Le volume d'un solide est la mesure de son encombrement.

 

Les principales unités de volumes sont :

- le mètre cube (m3),

- le décimètre cube (dm3),      1 m3 = 1000 dm3 ;

- le centimètre cube (cm3),        1 dm3 = 1000 cm3 ;

- le millimètre cube (mm3).

 

1L = 1 dm3 = 1000 cm3.

 

Exemples

 

1) Convertissons 7,5 m3 en dm3 :

    Pour passer du m3 au dm3, on décale la virgule de trois rangs vers la droite.

    7,5 m3 = 7500 dm3.

 

2) Convertissons 3200 cm3 en dm3 :

    Pour passer du cm3 au dm3, on décale la virgule de trois rangs vers la gauche.

    3200 cm3 = 3,2 dm3.

 

Volume d'un cube  (6e)

Le volume d'un cube d'arête a est  V = a ´ a ´ a = a3.

 

Exemple

 

Calculons le volume d'un cube d'arête 5 cm :

 

V = a ´ a ´ a    où   a = 5 cm.

V = 5 ´ 5 ´ 5 = 125.

Le volume de ce cube est 125 cm3.

 

Volume d'un parallélépipède rectangle  (6e)

Le volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions a, b et c  est  V = a ´ b ´ c.

 

Exemple

 

Calculons le volume d'un parallélépipède

rectangle de dimensions 3 cm, 5 cm et 2 cm :

 

V = a ´ b ´ c    où   a = 3 cm  ;  b = 5 cm  et  c = 2 cm.

V = 3 ´ 5 ´ 2 = 30.

Le volume du parallélépipède rectangle est 30 cm3.

 

Parallélisme et orthogonalité dans un pavé droit  (6e)

Les arêtes [AA'] et [BB'] sont parallèles.

Les arêtes [AB] et [BC] sont perpendiculaires.

Les faces ABCD et A'B'C'D' sont parallèles.

Les faces ABCD et ABB'A' sont perpendiculaires.

L'arête [BB'] est parallèle à la face AA'D'D.

L'arête [AB] est perpendiculaire à la face AA'D'D.

Prisme droit  (5e)

Un prisme droit est un solide avec deux faces parallèles, appelées bases, qui sont des polygones superposables.

Ses autres faces sont des rectangles.

 

 

A est un sommet.

ABCD est une face.

[AD] est une arête.

ADD'A' est une face latérale.

[AA'] est une arête latérale.

AA' est la hauteur du prisme droit.

 

La hauteur du prisme droit est la distance entre ses deux bases.

Les faces qui ne sont pas des bases sont des faces latérales.

Les parallélépipèdes rectangles et les cubes sont des prismes droits particuliers.

 

Exemples

 

1) Voici un prime droit       

    à bases triangulaires :

 

2) Voici un prisme droit

    à bases pentagonales :

   

   

 

 

Patron d'un prisme droit  (5e)

Exemple

 

Construisons un patron d'un prisme droit dont les bases sont des triangles rectangles :

 

  

 

Volume d'un prisme droit  (5e)

Le volume d'un prisme droit d'aire de base Ab et de hauteur h est  V = Ab ´ h.

 

Exemple

 

Calculons le volume du prisme droit ci-dessous :

 

L'aire de la base est

 

V = Ab ´ h    où   Ab = 1,4 cm²  et  h = 3 cm.

V = 1,4 ´ 3 = 4,2.

Le volume du prisme droit est 4,2 cm3.

 

 

Aire d'un prisme droit  (5e)

L'aire totale d'un prime droit d'aire de base Ab , de périmètre d'une base P

et de hauteur h est A = 2 ´ Ab + P ´ h.

Parallélisme et orthogonalité dans un prisme droit  (5e)

Dans un prisme droit :

- les bases sont parallèles ;

- les arêtes latérales sont parallèles ;

- les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases ;

- les faces latérales sont perpendiculaires aux bases.

Cylindre de révolution  (5e)

Un cylindre de révolution est un solide avec deux faces parallèles, appelées bases, qui sont des disques de même rayon et de même axe.

 

La droite (OO') est l'axe du cylindre.

La distance OO' est la hauteur.

[AA'] est une génératrice.

 

Patron d'un cylindre de révolution  (5e)

Exemple

 

   

 

Volume d'un cylindre de révolution  (5e)

Le volume d'un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h est  V = p ´ r² ´ h.

 

Exemple

 

Calculons le volume d'un cylindre de révolution

de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm :

 

V = p ´ r² ´ h    où   r = 2 cm   et   h = 5 cm.

V = p ´´ 5

V = p ´ 4 ´ 5 = 20p .

V » 20 ´ 3,14 » 62,8.

Le volume du cylindre de révolution est 20p cm3,  donc  environ 62,8 cm3.

 

Aire d'un cylindre de révolution  (5e)

L'aire d'un cylindre de révolution de rayon r et de hauteur h est  A = 2 ´ p ´ r ´ (h + r).

 

Exemple

 

Calculons l'aire d'un cylindre de révolution

de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm :

 

A = 2 ´ p ´ r ´ (h + r)    où   r = 2 cm   et   h = 5 cm.

A = 2 ´ p ´ 2 ´ (5 + 2)

A = 2 ´ p ´ 2 ´ 7 = 28p .

A » 28 ´ 3,14 » 88.

L'aire du cylindre de révolution est 28p cm²,  donc  environ 88 cm².

 

Parallélisme et orthogonalité dans un cylindre  (5e)

Dans un cylindre de révolution :

- les bases sont parallèles ;

- les génératrices sont parallèles ;

- l'axe et les génératrices sont perpendiculaires aux bases.

Pyramide  (4e)

Une pyramide est un solide ayant comme base un polygone et dont les autres faces sont des triangles se rejoignant en un point qui est le sommet.

 

S est le sommet de la pyramide.

ABCDEF est la base de la pyramide.

SAB est une face latérale.

h est la hauteur.

 

La pyramide ci-dessus est à base hexagonale.

Une pyramide à base triangulaire est appelée un tétraèdre.

Pyramide régulière  (4e)

Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier, l'axe de ce polygone contenant le sommet de la pyramide.

 

 GIJKL est une pyramide régulière à base carrée.

Ses faces latérales sont des triangles isocèles.

Patron de pyramide  (4e)

Exemples

 

1) Voici un tétraèdre régulier et un de ses patrons :

 

2) Voici une pyramide régulière à base carrée et un de ses patrons :

 

Volume d'une pyramide  (4e)

Le volume d'une pyramide d'aire de base Ab et de hauteur h est :

 

Exemple

 

Calculons le volume d'une pyramide à base carrée de côté 2 cm et de hauteur 6 cm :

 

Le volume de la pyramide est 8 cm3.

 

Cône de révolution  (4e)

Un cône de révolution est un solide ayant comme base un disque dont l'axe contient le sommet du cône.

 

    

S est le sommet du cône.

La base du cône est un disque.

La droite (OS) est l'axe du cône.

La distance OS est la hauteur du cône.

[SM] est une génératrice du cône.

 

Volume du cône de révolution  (4e)

Le volume d'un cône de révolution de rayon r et de hauteur h est :

 

Exemple

 

Calculons le volume d'un cône de révolution de rayon 1 cm et de hauteur 4 cm :

 

donc  environ 4,2 cm3.

 

Patron d'un cône de révolution  (4e)

Exemple

 

 

 

Parallélisme et orthogonalité dans un cône  (4e)

L'axe d'un cône est perpendiculaire au disque de base.

Diagonale d'un parallélépipède rectangle  (4e)

Exemple

 

Calculons la longueur des diagonales du parallélépipède ci-dessous :

 

 

A'D'C' est un triangle rectangle en D'

d'après le théorème de Pythagore,

A'C'² = A'D'² + D'C'²

A'C'² = 3,2² + 2,4²

A'C'² = 5,76 + 10,24 = 16

A'C' = 4 cm.

 

A'CC' est un triangle rectangle en C'

d'après le théorème de Pythagore,

A'C² = A'C'² + CC'²

A'C² = 4² + 3²

A'C² = 16 + 9 = 25

A'C = 5 cm.

Les diagonales du parallélépipède rectangle mesurent 5 cm.

 

En 3ème, on généralise ainsi :

Une diagonale d'un parallélépipède rectangle

 

Arête latérale d'une pyramide  (4e)

Exemple

 

Calculons la longueur de l'arête latérale [SB] de la pyramide ci-dessous :

[AS] est la hauteur de la pyramide.

AB = 3 cm  et  AS = 4 cm.

 

(AS) ^ (AB)  car  [AS] est la hauteur de la pyramide.

 

ABS est un triangle rectangle en A

d'après le théorème de Pythagore,

SB² = AB² + AS²

SB² = 3² + 4²

SB² = 9 + 16 = 25

SB = 5 cm.

L'arête [SB] mesure 5 cm.

 

Hauteur d'un cône de révolution  (4e)

Exemple

 

Calculons la hauteur d'un cône de révolution de rayon 1 cm et de génératrice 2,5 cm :

 

SOA est un triangle rectangle en O

d'après le théorème de Pythagore,

SA² = OS² + OA²

2,5² = OS² + 1²

OS² = 2,5² - 1² = 6,25 – 1 = 5,25

OS » 2,29 cm.

La hauteur du cône est environ 2,29 cm.

 

Sphère  (3e)

La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance r du point O.

Boule  (3e)

La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à r du point O.

 

Une boule est l'intérieur d'une sphère.

Aire d'une sphère  (3e)

L'aire d'une sphère de rayon r est  A = 4 ´ p ´ r².

 

Exemple

 

Calculons l'aire d'une sphère de rayon 5 cm :

 

A = 4 ´ p ´ r²    où   r = 5 cm.

A = 4 ´ p ´ 5² = 4 ´ p ´ 25 = 100p .

A » 100 ´ 3,14 » 314.

L'aire de cette sphère est 100p cm3,  donc  environ 314 cm3.

 

Volume d'une boule  (3e)

 

Exemple

 

Calculons le volume d'une boule de rayon 5 cm :

 

donc  environ 523 cm3.

 

Section d'un parallélépipède rectangle  (3e)

La section d'un parallélépipède rectangle ou d'un cube par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle ou un carré.

 

  

Section d'un parallélépipède rectangle

par un plan parallèle à une face.

 

Section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une arête.

 

  

Section d'un cube par un plan

parallèle à une face.

 

Section d'un cylindre de révolution  (3e)

    

La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle.

La section d'un cylindre de révolution

par un plan parallèle à son axe est un rectangle.

                   

Section d'un cône ou d'une pyramide  (3e)

La section d'un cône de révolution ou d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.

 

       

 

Effets d'un agrandissement ou d'une réduction  (3e)

Si, lors d'un agrandissement ou d'une réduction, les dimensions d'une figure sont multipliées par un même nombre k, alors les aires sont multipliées par k² et les volumes

par k3.

 

 

Ici, les dimensions de la pyramide SA'B'C' sont multipliées par 0,5 par rapport à celles de la pyramide SABC.

 

Les aires sont multipliées par 0,5² = 0,25.

Aire de A'B'C' = aire de ABC ´ 0,25.

 

Les volumes sont multipliés par 0,53 = 0,125.

Volume de SA'B'C' = volume de SABC ´ 0,125.

 

Section d'une sphère  (3e)

La section d'une sphère par un plan est un cercle.

 

(OO') est perpendiculaire au plan.

 

Rayon du cercle, section d'une sphère par un plan  (3e)

Exemple

 

Calculons le rayon du cercle section sachant que OC = 1,5 cm

et que le rayon de la sphère est égal à 2 cm :

 

 

OAC est un triangle rectangle en O

d'après le théorème de Pythagore,

CA² = OC² + OA²

2² = 1,5² + OA²

OA² = 2² - 1,5² = 4 – 2,25 = 1,75

OA » 1,3 cm.

Le rayon du cercle est environ 1,3 cm.

 

 

On peut généraliser :

Le rayon du cercle section d'une sphère de rayon r par un