PROPORTIONNALITÉ

           ET POURCENTAGES

Application d'un pourcentage  (6e)

Un taux de pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100.

Appliquer le taux de pourcentage  t % à un nombre x,

 

Exemple

 

Lors d'un vote, sur 1250 électeurs inscrits, il y a 72 % de votants.

Calculons le nombre de votants :

 

Il y a eu 900 votants.

 

 

 

Proportionnalité  (6e)

 

Il y a proportionnalité entre deux grandeurs si l'on peut multiplier (ou diviser) les valeurs de l'une par un même nombre pour obtenir les valeurs de l'autre.

 

Exemples

 

1) L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels.

 

2) Le prix des poires et leur masse sont proportionnels.

     3 kg de poires coûtent 7,80 €.

    Calculons le prix de 5 kg de ces poires :

 

     1ère méthodeen revenant à l'unité :

 

     3 kg de poires coûtent 7,80 €.

     1 kg de poires coûte 3 fois moins, soit 7,80 : 3 = 2,60 €.

     5 kg de poires coûtent 5 fois plus, soit 5 ´ 2,60 = 13 €.

 

 

     2ème méthodeavec un tableau et des fractions :

 

Masse de poires (kg)

3

5
Prix (€) 7,80 .....

     

 

 5 kg de poires coûtent 13 €.

Calcul d'un taux de pourcentage  (5e)

Déterminer le pourcentage de x par rapport à y,

 

Exemples

 

A un devoir de mathématiques, 16 élèves sur 25 ont la moyenne.

Calculons le pourcentage d'élèves ayant la moyenne :

 

64 % des élèves ont la moyenne.

 

 

 

 

Suites proportionnelles  (5e)

 

Deux suites de nombres sont proportionnelles si les termes de la seconde suite s'obtiennent en multipliant les termes correspondants de la première suite par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

 

Exemple

 

Considérons le tableau ci-dessous :

 

Quantité d'essence (L)

15

20

36

Prix (€)

16,50

22

39,60

 

Pour passer de la première à la deuxième ligne, on multiplie par 1,10.

On passe au prix en multipliant la quantité d'essence par 1,10.

Le prix de l'essence est proportionnel à la quantité d'essence.

 

 

 

Mouvement uniforme  (5e)

 

Un mouvement est uniforme quand il y a proportionnalité entre la distance parcourue et la durée du parcours.

 

Exemple

Un cycliste effectue un mouvement uniforme.

Il roule à la vitesse régulière de 24 km/ h.

Calculons la distance qu'il parcourt en 1h 15min :

 

1h = 60 min   ;   1h 15min = 75 min.

En 60 min, le cycliste parcourt 24 km.

En 1 min, il parcourt 60 fois moins, soit 24 : 60 = 0,4 km.

En 75 min, il parcourt 75 fois plus, soit 75 ´ 0,4 = 30 km.

Le cycliste parcourt 30 km en 1h 15 min.

 

Échelle  (5e)

L'échelle e d'une représentation est le quotient de la dimension d sur le dessin par la dimension réelle D.

L'échelle est souvent donnée sous la forme d'une fraction de numérateur 1.

 

Exemples

 

1) Un architecte qui effectue le plan d'une maison veut

    représenter 1 m de terrain par 2,5 cm sur le dessin.

    Calculons l'échelle du plan :

 

   

   

   

 

    Calculons la distance réelle, en km, entre deux

    villes distantes de 5 cm sur la carte :

 

   

   

    6 000 000 cm = 60 km.

    La distance réelle entre ces deux villes est 60 km.

 

Quatrième proportionnelle  (4e)

Considérons le tableau suivant où a, b, c et d sont quatre nombres non nuls.

 

S1

a

b

S2

c

d

 

 

Si les suites S1 et S2 sont proportionnelles, alors :  a ´ d = b ´ c.

Réciproquement, si a ´ d = b ´ c,  alors les suites S1 et S2 sont proportionnelles.

 

Ainsi, connaissant trois nombres, on peut calculer le quatrième appelé la quatrième proportionnelle.

 

Exemple

 

3,5 kg de pêches coûtent 4,90 €.

Déterminons le prix de 2,5 kg de pêches :

 

On construit le tableau de proportionnalité suivant.

 

Masse de pêches (kg)

3,5

2,5

Prix (€)

4,90

x

 

 

Le prix de 2,5 kg de pêches est 3,50 €.

 

 

Représentation graphique d'une proportionnalité  (4e)

Les points de la représentation graphique d'une situation de proportionnalité sont tous alignés avec l'origine du repère.

Réciproquement, si, sur un graphique, tous les points sont alignés avec l'origine du repère, alors il y a proportionnalité.

 

Exemple

 

Représentons graphiquement la situation suivante :

 

Nombre d'avocats

4

5

10

Prix (€)

3,20

4

8

 

 

Le prix des avocats est proportionnel à leur nombre.

Tous les points sont bien alignés avec l'origine.

 

 

Vitesse et unités  (4e)

La vitesse moyenne v d'un mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée du parcours t.

Les principales unités de vitesse sont :

- le kilomètre par heure (km /h),

- le mètre par seconde (m /s).

 

Exemples

 

1) Un escargot se déplace à la vitesse moyenne de 8 cm /min.

    Calculons la durée nécessaire pour parcourir 2 m :

 

   

   

    Il faut 25 min à l'escargot pour parcourir 2 m.

 

2) Convertissons  27 km /h  en  m /s :

 

   

 

3) Convertissons  20 m /s  en  km /h :

 

   

 

Grandeurs composées  (3e)

a, b et c sont des nombres non nuls.

De l'égalité  a = b ´ c, on peut déduire les égalités :

 

 

 

Exemples

 

1) E est l'énergie consommée (kWh), P est la puissance de l'appareil (kW)

    et t est la durée de l'utilisation (h).   On a :  E = P ´ t .

    Un fer à repasser consomme en une demi-heure une énergie de  0,3 kWh.

    Calculons la puissance du fer à repasser :

 

   

   

    La puissance du fer à repasser est 0,6 kW   soit  600 W.

 

2) V est le volume (L), D est le débit (L /min)  et  t est la durée (min).

   

    Un robinet a un débit constant de 5,4 L /min.

    Calculons la durée nécessaire pour remplir un récipient de 135 L :

 

   

   

    Il faut 25 min pour remplir un récipient de 135 L.

 

 

 

Unités des grandeurs composées  (3e)

 

Exemples

1) E est l'énergie consommée (kWh), P est la puissance de l'appareil (kW) et t est la

     durée de l'utilisation (h).   On a :  E = P ´ t.

 

     Le temps peut s'exprimer en h (heures) ou j (jours).

     L'énergie peut donc s'exprimer en kWh, en Wh ou en kWj.

     Convertissons  3 kWj  en Wh   et   12 000 Wh en kWj :

 

     3 kWj = 3 000 Wj = 72 000 Wh.   (car 1kW = 1000W   et  1 j = 24 h)

       

 

 

    où  D est le débit d'une source d'eau (en L/s  ou  m3/h), V est le volume d'eau

    (en L ou m3), t est le temps mis pour l'écoulement (en s ou h).

 

     Convertissons 1,5 L/s  en  m3/h    et      12 m3/h  en  L/s.

 

    

    

 

 

Augmentation ou diminution exprimée en pourcentage  (3e)

Une augmentation de n % fait passer

Une diminution de n % fait passer

 

Exemple

 

1) Les prix des articles d'un magasin ont subi une augmentation de 12 %.

    x désigne le prix d'un article avant l'augmentation et p(x) est son prix

    après l'augmentation.

    Exprimons p(x) en fonction de :

 

   

 

2) Le prix d'un blouson avant l'augmentation était de 120 €.

    Calculons, avec la formule, son nouveau prix :

 

   

    Le blouson vaut maintenant 134,40 €.

 

3) Un pantalon vaut après l'augmentation 50,40 €.

    Calculons, avec la formule, son ancien prix :

 

    

   

    Le pantalon valait 45 € avant l'augmentation.