FONCTIONS LINÉAIRES

                  ET AFFINES

 

 

 

Notion de fonction  (3e)

 

Une fonction  f  est une relation qui associe à un nombre x son image  f (x) .

f  associe à le nombre  f (x) .

L'antécédent de f (x) est le nombre x.

 

Exemple

1) f associe à le nombre 3 x2 .

     f (x) = 3 x2.

     Calculons l'image de 4 par la fonction f .

 

     f (4) = 3 ´ 42 = 3 ´ 16 = 48.

     L'image de 4 par la fonction f est 48.

 

2)  g associe à le nombre 5x - 1.

     g (x) = 5x - 1.

     Calculons l'antécédent de 14 par la fonction g.

 

     5x – 1 = 14  

     5x = 14 + 1

     5x = 15

     x = 15 : 5

     x = 5

     L'antécédent de 14 par la fonction  g  est  3.

 

  

 

Représentation graphique d'une fonction  (3e)

 

Une fonction  f  telle que  l'image de x soit  f (x) est représentée graphiquement dans un repère par une courbe dont les points ont pour coordonnées (x ;  f (x)).

 

Exemple

 

Représentons graphiquement la fonction  h telle que  h(x) = x2 – 2x.

 

La fonction  h est représentée graphiquement

par une courbe Ch.

h(x) = x2 – 2x.

 

Si  x = - 2,     h (- 2) = (- 2)2 – 2 ´ (- 2) = 4 + 4 = 8

Si  x = - 1,     h (- 1) = (- 1)2 – 2 ´ (- 1) = 1 + 2 = 3

Si  x = 0,       h (0) = 02 – 2 ´ 0 = 0 - 0 = 0

Si  x = 1,       h (1) = 12 – 2 ´ 1 = 1 - 2 = - 1

Si  x = 2,       h (2) = 22 – 2 ´ 2 = 4 – 4 = 0

Si  x = 3,       h (3) = 32 – 2 ´ 3 = 9 – 6 = 3

Si  x = 4,       h (4) = 42 – 2 ´ 4 = 16 - 8 = 8

 

x

- 2

- 1

0

1

2

3

4

h(x)

8

3

0

- 1

0

3

8

 

                  

 

Fonction linéaire  (3e)

On considère une expression f(x) = ax  où a est un nombre fixé.

f est appelée fonction linéaire de coefficient a.

 

f associe à x le nombre ax.

On dit que le nombre ax est l'image de x par f.

 

Exemple

 

Une place de cinéma coûte 7 €.

p(x) est le prix payé par x personnes venant au cinéma.

Exprimons p(x) en fonction de :

 

Les x personnes paient chacune 7 €,

p est une fonction linéaire.

 

Représentation graphique d'une fonction linéaire  (3e)

La représentation graphique d'une fonction linéaire f telle que f(x) = ax  est la droite d d'équation y = ax .

Cette droite passe par l'origine du repère.

 

Exemple

 

Représentons graphiquement la fonction linéaire g

telle que g(x) =2:

 

d est la droite qui représente la fonction g.

L'origine O du repère appartient à d.

 

Pour construire la droite d, il suffit de trouver

les coordonnées d'un autre point.

On a  g(1) = 2 ´ 1 = 2, donc  d passe par le point

de coordonnées (1 ; 2).

 

 

Lien avec la proportionnalité  (3e)

Toute situation de proportionnalité peut être décrite par une fonction linéaire.

 

Exemple

 

5 kg de pommes coûtent 2,80 €.

f(x) est le prix de x kg de pommes.

Exprimons f(x) en fonction de :

 

Masse de pommes (kg)

5

x

Prix (€)

2,80

f(x)

 

 

f est une fonction linéaire.

Le coefficient de la fonction linéaire est 0,56.

 

 

Détermination d'une fonction linéaire  (3e)

Une fonction linéaire peut être déterminée par la donnée de l'image d'un nombre.

 

Exemple

 

Déterminons la fonction linéaire h telle que h(2) = 7 :

 

 

Fonction affine  (3e)

On considère une expression f(x) = ax + b  où a et b sont des nombres fixés.

f est appelée fonction affine de coefficient a.

 

f associe à x le nombre ax + b.

On dit que le nombre ax + b est l'image de x par f.

Si  a = 0, alors f(x) = b  et  f est une fonction constante.

Si  b = 0, alors f(x) = ax  et  f est une fonction linéaire.

 

Exemple

 

Un représentant de commerce perçoit un salaire fixe de 500 €.

Il reçoit en plus une commission égale à 10 % du montant

de ses ventes mensuelles.

x est le montant de ses ventes mensuelles.

s(x) est son salaire correspondant.

Exprimons s(x) en fonction de :

 

s est une fonction affine.

 

Représentation graphique d'une fonction affine  (3e)

La représentation graphique d'une fonction affine g telle que g(x) = ax + b  est la droite d d'équation y = ax + b .

 

Exemple

 

1) Représentons graphiquement la fonction affine s telle que s(x) = 0,1x + 500 :

    (exemple précédent)

    On prend en abscisse 1 cm pour 1000 € de ventes mensuelles ;

                   en ordonnée 1 cm pour 200 € de salaire mensuel.

    Pour représenter s, on cherche les images de deux nombres.

 

   

   

    La fonction affine s est représentée graphiquement par la demi-droite qui a

    pour origine le point (0 ; 500) et qui passe par le point (2000 ; 700).

 

           

 

2) Déterminons, à l'aide du graphique, le montant des ventes mensuelles que

    doit effectuer le représentant pour gagner 900 € :

 

    Le point du graphique d'ordonnée 900 a pour abscisse 4000.

    A un salaire de 900 €, correspond un montant des ventes mensuelles de 4000 €.

 

 

Détermination d'une fonction affine  (3e)

Une fonction affine peut être déterminée par la donnée des images de deux nombres.

On est alors amené à la résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

 

Exemple

 

Déterminons la fonction affine g telle que g(2) = -1  et  g(4) = 5 :

Or, g(x) = ax + b, il faut calculer a et b.

 

      

      

      

 

 

       a = 3  et  b = -7.