PROBABILITÉS

Probabilité d'un évènement  (3e)

Une expérience aléatoire (un lancer de pièces, un tirage de boules dans une urne, une distribution de cartes, un tournage de roue de loterie) propose plusieurs éventualités dont le résultat est imprévisible.

La probabilité qu'une éventualité soit réalisée est un nombre compris entre 0 et 1 qui définit le fait de cette réalisation.

Un évènement peut être l'ensemble de plusieurs éventualités. La probabilité de l'évènement est défini de la même façon, c'est un nombre compris entre 0 et 1 qui caractérise le fait que ces éventualités soient réalisées.

On note p(A) la probabilité d'un évènement A.

 

 

Lorsqu'un évènement a une probabilité de 0, c'est qu'il est impossible.

Lorsqu'un évènement a une probabilité de 1, c'est qu'il est forcément réalisé.

 

Exemple

 

On tire dans une urne une boule au hasard.

On a dans cette urne 5 boules blanches, 3 boules noires et 9 boules vertes.

5 + 3 + 9 = 17.  L'urne contient 17 boules.

 

Propriétés des probabilités  (3e)

Pour n éventualités possibles, on a donc n probabilités associées p1, p2, ...........pn.

On a :   p1 + p2 + ........... + pn = 1.

 

On est en situation d'équiprobabilité lorsque chacune des éventualités a la même probabilité.

 

Exemple

 

1) On reprend l'exemple précédent.

     On tire dans une urne une boule au hasard.

     On a dans cette urne 5 boules blanches, 3 boules noires et 9 boules vertes.

     Complétons le tableau suivant :

 

couleur de la boule tirée

blanche

noire

verte

probabilité

 

    

 

     La somme des probabilités des différentes éventualités est bien 1.

 

2) On lance un dé et on note la probabilité d'obtenir chaque face :

 

face obtenue

1

2

3

4

5

6

probabilité

 

    

    Ici, toutes les probabilités sont égales, nous sommes en situation

    d'équiprobabilité.

Evènement à une ou deux épreuves  (3e)

Un évènement peut être à une épreuve (lancer d'un dé) ou à deux épreuves

(deux lancers d'un dé).

Pour les évènements à deux épreuves, on pourra dessiner des arbres.

 

Exemple

 

On lance une pièce deux fois de suite.

On dresse l'arbre suivant des résultats obtenus :

 

       

Il n'y a qu'une possibilité sur quatre tirages possibles d'obtenir deux fois face.

 

Evènements et tableaux  (3e)

Pour les évènements à une épreuve un peu plus compliqués, on dressera des tableaux.

On définira aussi un évènement A et son contraire Ā  (qui contient les autres éventualités possibles que celles de A).

p(Ā) = 1 – p(A).

 

Exemple

 

Dans une classe, il y a 13 filles et 15 garçons.

7 filles et 10 garçons ont un ordinateur. Les autres n'en ont pas.

On prend un élève au hasard dans cette classe.

On note :

F : "l'élève est une fille" ;

G : "l'élève est un garçon" ;

O : "l'élève a un ordinateur" ;

Ō : "l'élève n'a pas d'ordinateur";

 

On complète le tableau suivant :

 

 

F

G

total

O

7

10

17

6

5

11

total

13

15

28