PUISSANCES ET RACINES CARRÉES

Puissances  (4e)

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

an = a ´ a ´ ……..´(n facteurs)   ;   a1 = a   ;    a0 = 1.

an se dit « a puissance n » ou « a exposant n ».

a2 se dit  « a au carré ».

a3 se dit  « a au cube ».

 

Exemples

 

 

 

 

 

5) L'aire d'un disque de rayon r est  A = p r²  où  p » 3,14.

    Calculons l'aire d'un disque de rayon 5 cm :

   

   

   

    L'aire de ce disque est environ 78,5 cm².

 

Propriétés des puissances  (4e)

a est un nombre relatif ;   n et p sont des entiers relatifs.

 

Exemples

 

 

 

 

 

 

Puissances de 10  (4e)

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

10 n = 10…….0  (n  zéros)     ;      10- n = 0,0……01 (n  zéros)    ;

 

101 = 10   ;   10-1 = 0,1 ;   100 = 1.

 

10n se dit « 10 puissance n » ou « 10 exposant n ».

Les puissances de 10 permettent de simplifier l'écriture des grands nombres (en astronomie) ou des très petits nombres (en microbiologie, ...).

 

Exemples

 

1) Écrivons sous forme décimale  J = 2,72 ´ 105 :

   

 

2) Écrivons sous forme décimale  K = 3600 ´ 10- 4 :

   

 

3) Au lieu d'écrire : ‘‘le Canada a une superficie d'environ 10 000 000 km² '',

    on peut écrire :  ‘‘le Canada a une superficie d'environ 107 km² ''.

 

Écriture scientifique  (4e)

En utilisant les puissances de 10, on n'a pas besoin d'écrire tous les zéros qui rendent difficile la lecture de certains nombres.

L'écriture d'un nombre décimal strictement positif en notation scientifique est de la forme

 a ´ 10n où  a est un nombre décimal tel que 1 £ a < 10  et  n est un entier relatif.

 

Exemples

 

1) En chimie, on dit que la masse d'une molécule d'eau est 3 ´ 10-26  kg.

    La forme scientifique est très pratique, puisque avec la forme décimale,

    il faudrait mettre 26 zéros avant le 3.

 

2) Écrivons sous forme scientifique  L = 2 740 000 :

   

 

Propriétés des puissances de 10  (4e)

n et p sont des entiers relatifs.

 

Exemples

 

1) Réduisons puis écrivons sous forme décimale  M = 3 ´1017 ´ 2 ´ 10-15 :

   

 

   

 

3) Le volume Vt de la terre est environ 1,1 ´ 1012  km3.

    Le volume Vs du soleil est environ 1,4 ´ 1018  km3.

   

   

    Le volume du soleil est environ 1270 000 fois plus important que celui de la terre.

 

Racines carrées  (3e)

a est un nombre positif.

La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a.

Les racines carrées sont utilisées en géométrie, notamment pour les calculs de longueurs (utilisation du théorème de Pythagore, diagonale d'un carré, hauteur d'un triangle équilatéral...).

 

Exemples

 

 

   

 

 

    Calculons la longueur de la diagonale d'un carré de côté 5 cm :

   

   

    La longueur de cette diagonale est environ 7,07 cm.

 

Produit et quotient des racines carrées  (3e)

Il n'y a pas de formule avec les sommes ou différences. En général, la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.

 

Exemples