ÉQUATIONS ET SYSTÈMES

 

 

 

Égalité du type  a + .... = b  (6e)

 

L'égalité du type a + .... = b  admet une seule solution qui est b - a.

 

Exemple

L'égalité  3,5 + .... = 9  a pour solution  9 – 3,5 = 5,5.

 

 

 

 

Égalité du type  a ´ .... = b  (6e)

 

L'égalité du type  a ´ .... = b  admet une seule solution qui est  b : a  (a ¹ 0).

 

Exemple

L'égalité 24 ´ .... = 312  a pour solution  312 : 24 = 13.

 

 

Équations  (5e)

Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle il y a un nombre inconnu.

Résoudre une équation, c'est déterminer, si elles existent, les valeurs de ce nombre inconnu (solutions) pour lesquelles l'égalité est vraie.

 

Exemple

4 + x = 10 est une équation.

x = 6 est une solution de cette équation car 4 + 6 = 10.

 

Solution ou non d'une équation  (5e)

Exemples

 

1) 3x = 12  est une équation d'inconnue x.

    x = 4  est une solution car 3 ´ 4 = 12.

 

2) 3 est-il solution de l'équation 4x + 3 = 16 ?

   

    donc, 3 n'est pas solution de cette équation.

Équations des types  a + x = b  ou  ax = b  (5e) 

L'équation  a + x = b  admet une seule solution  x = b - a.

 

Exemples

1) Résolvons l'équation :

    

    

    

     L'équation admet une seule solution 9,2.

2) Aristide achète cinq baguettes.

     x est le prix d'une baguette.

     Exprimons le prix payé en fonction de :   5x.

     Déterminons x sachant qu'Aristide a payé 3,75 €.

    

    

     Le prix d'une baguette est 0,75 €.

  

Équations avec des développements  (4e)

Exemples

 

1) Résolvons l'équation :

   

   

   

   

   

 

2) Résolvons l'équation :

   

   

   

   

   

   

   

 

3) On considère un rectangle de dimensions x cm et 3 cm.

    Le périmètre de ce rectangle est 2(x + 3).

    Déterminons x pour que ce périmètre soit égal à 32 cm :

   

   

   

   

   

    Il faudrait que x soit égal à 13 pour que le périmètre vaille 32 cm.

Équations avec des égalités de rapports  (4e)

Les produits en croix sont égaux.

 

Exemples

 

1) Résolvons l'équation :

   

   

   

   

 

2) Si v est la vitesse, d la distance, t le temps mis pour effectuer le parcours,

   

    Exprimons d en fonction de v et de t :

   

    Exprimons t en fonction de v et de d :

   

 

Équation-produit  (3e)

Une équation-produit de deux facteurs du premier degré d'inconnue x est de la forme :

Ses solutions sont :

 

Exemples

 

1) Résolvons l'équation-produit :

   

    soit  5x + 1 = 0,    soit 3x – 2 = 0

             5x = -1                 3x = 2

             

 

2) Résolvons l'équation :

   

   

    soit  x = 0,    soit x – 5 = 0

            x = 0             x = 5.

 

3) Résolvons l'équation :

   

   

   

   

   

    soit x + 1 = 0,   soit 5x – 30 = 0

            x = -1                5x = 30

         

 

Équations du type x² = a  (3e)

L'équation x² = 0 admet une seule solution x = 0.

Si a > 0,  l'équation x² = a  admet deux solutions :

 

Exemples

 

1) Résolvons l'équation :

   

   

 

2) Résolvons l'équation :

   

   

   

   

   

 

Équations à deux inconnues  (3e)

Une équation du premier degré à deux inconnues est de la forme ax + by + c = 0.

 

Exemple

 

Les couples (5 ; 10) et (-2 ; 1) sont-ils solutions de cette équation ?

 

donc,  (5 ; 10) est solution de cette équation.

 

donc,  (-2 ; 1) n'est pas solution de cette équation.

 

Systèmes de deux équations à deux inconnues  (3e)

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y est de la forme :

Résoudre ce système, c'est trouver, s'ils existent, le ou les couples (; y) qui rendent vraies simultanément les deux égalités.

 

Exemple

 

Le couple (2 ; 1) est solution de ce système.

En effet,

 

Résolution algébrique des systèmes  (3e)

Il existe deux méthodes algébriques pour résoudre un système de deux équations qui permettent de se ramener à la résolution d'équations du premier degré à une inconnue :

 

La méthode par combinaisons linéaires (ou par addition) : on y multiplie chacune des équations par un nombre de façon qu'en les additionnant, on élimine une des inconnues.

 

La méthode par substitution : on y exprime une des inconnues en fonction de l'autre dans une équation et on la remplace dans la deuxième.

 

Exemples

 

 

    Multiplions les membres de l'équation (1) par 3 et les membres de l'équation (2) par 1.

   

 

    Ajoutons membre à membre les deux égalités :

   

   

   

 

    On remplace x par 2 dans l'équation (1) :

   

   

   

   

 

    Le système d'équations admet une solution unique qui est le couple (2 ; 1).

 

2) Le périmètre d'un rectangle est égal à 36 m.

   

 

    Calculons les deux dimensions du rectangle :

    Soit x la longueur et y la largeur.

   

 

    On résout ce système par substitution :

   

   

   

   

   

   

   

 

    On remplace x par 15 dans l'équation (2) :

   

 

    Le système d'équations admet une solution unique qui est le couple (15 ; 3).

    On conclut que le rectangle a pour longueur 15 m et pour largeur 3 m.

 

Résolution graphique des systèmes  (3e)

Résoudre graphiquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues revient à déterminer géométriquement les coordonnées du point d'intersection de deux droites.

 

Exemple

 

La droite d1 d'équation  y = - x  représente graphiquement la fonction f telle que 

f(x) = - x.

La droite d2 d'équation y = 2x - 3 représente graphiquement la fonction g telle que 

g(x) = 2x - 3.

 

 

d1 

 

 

x

0

1

y

0

-1

 

 

 

d2 

 

 

 

x

0

1

y

-3

-1

 

 

Les droites d1 et d2 sont sécantes en K (1 ; -1).

Le système d'équations admet une solution unique qui est le couple (1 ; -1).