ORDRE ET INÉQUATIONS

Comparaison de nombres décimaux  (6e)

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d'abord les parties entières de ces deux nombres :

Si elles sont égales, alors on compare les parties décimales, rang par rang, en commençant par les chiffres des dixièmes, puis des centièmes.....

 

Le symbole < signifie : ‘‘est strictement inférieur à ''.

Le symbole > signifie : ‘‘est strictement supérieur à ''.

Le symbole £ signifie : ‘‘est inférieur ou égal à ''.

Le symbole ³ signifie : ‘‘est supérieur ou égal à ''.

 

L'ordre croissant va du plus petit nombre au plus grand.

On a :  2 < 5 < 13.

L'ordre décroissant va du plus grand nombre au plus petit.

On a :  10 > 7 > 4.

 

Exemple

 

On a les nombres :  19,3  ;  13,4  ;  20 ;  19,32 ;  19,28.

Dans l'ordre croissant, on a :   13,4 < 19,28 < 19,3 < 19,32 < 20.

 

Encadrements  (6e)

Si  a < b < c,  on dit que b est encadré par a et c.

L'amplitude de l'encadrement de b est (ca).

 

Exemple

 

   

   

    Son amplitude est  1,8 – 1,7 = 0,1.

 

   

    Son amplitude est  1,72 – 1,71 = 0,01.

 

Comparaison de fractions de même dénominateur  (5e)

Pour comparer deux fractions de même dénominateur, on compare leurs numérateurs.

 

Exemple

 

 

Comparaison de fractions de dénominateurs différents  (5e)

Pour comparer des fractions de dénominateurs différents :

on peut les réduire au même dénominateur et comparer leurs numérateurs,

on peut aussi pour chaque fraction diviser le numérateur par le dénominateur et comparer les quotients.

                   

 

Exemples

 

   

   

   

 

   

    Recherchons le candidat qui a eu le plus de voix :

   

   

    C'est monsieur Robert qui a eu le plus de voix.

 

   

   

 

Ordre entre les nombres relatifs  (5e)

Tout nombre positif est supérieur ou égal à 0.

 

Tout nombre négatif est inférieur ou égal à 0.

 

Tout nombre négatif est inférieur ou égal à tout nombre positif.

 

Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur numérique.

 

Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur numérique.

 

Exemples

 

On relève à un même endroit la température extérieure à 8 h du matin deux jours de suite.

Le lundi, il fait  - 6°C   ;  le mardi, il fait  - 4°C.

 

- 6 < - 4, donc il faisait plus froid le lundi matin.

 

 

 

Inéquations  (5e)

 

Une inéquation est une inégalité dans laquelle il y a une inconnue.

 

Exemple

x – 3 > 4 est une inéquation d'inconnue x.

 

 

 

Solution ou non d'une inéquation  (5e)

 

Exemples

1) x – 3 > 4  est une inéquation d'inconnue x.

     x = 9 est une solution car 9 – 3 > 4.

2) 5 est-il solution de l'inéquation 4x – 6 < 12 ?

    

     donc, 5 n'est pas solution de cette inéquation.

 

Ordre et addition ou soustraction  (4e)

On dit que l'addition et la soustraction conservent l'ordre :

si  a < b,   alors  a + c < b + c,

si  a > b,   alors  a + c > b + c,

si  a < b,   alors  a - c < b - c,

si  a > b,   alors  a - c > bc.

 

Exemple

 

On a :  5,7 < 8.    vérifions que  5,7 – 6 < 8 – 6 :

5,7 – 6 = - 0,3  et  8 – 6 = 2,    or, - 0,3 < 2

donc,  5,7 – 6 < 8 – 6.

L'ordre est conservé.

 

Ordre et multiplication par un nombre positif  (4e)

On dit que la multiplication par un nombre strictement positif conserve l'ordre :

si  a < b  et   c > 0,   alors  a ´ c < b ´ c,

si  a > b  et   c > 0,   alors  a ´ c > b ´ c.

 

Exemple

 

On a :  3 < 5.    vérifions que  3 ´ 7 < 5 ´ 7 :

3 ´ 7 = 21  et  5 ´ 7 = 35,    or,  21 < 35

donc,  3 ´ 7 < 5 ´ 7.

L'ordre est conservé.

 

Ordre et multiplication par un nombre négatif  (4e)

On dit que la multiplication par un nombre strictement négatif inverse l'ordre :

si  a < b  et   c < 0,   alors  a ´ c > b ´ c,

si  a > b  et   c < 0,   alors  a ´ c < b ´ c.

 

Exemple

 

On a :  10 > 3.    vérifions que  10 ´ (-2) < 3 ´ (-2) :

10 ´ (-2) = -20   et   3 ´ (-2) = -6,

or,  -20 < -6,

donc, 10 ´ (-2) < 3 ´ (-2).

L'ordre est inversé.

 

 

 

Encadrements et multiplication par un nombre positif  (4e)

 

Exemple

Encadrons  3x - 1 sachant que  1,5 < x < 1,6  :

la multiplication par un nombre positif conserve l'ordre  donc

 

la soustraction conserve l'ordre  donc

Encadrements et multiplication par un nombre négatif  (4e)

Exemple

 

la multiplication par un nombre négatif inverse l’ordre  donc

 

 
 

 

 

Résolutions d'inéquations  (3e)

 

Résoudre une inéquation, c'est déterminer, si elles existent, les valeurs de l'inconnue qui rendent vraie l'inégalité.

On peut représenter graphiquement les solutions d'une inéquation sur une droite graduée.

 

Exemple

 

Un rectangle a pour dimensions x cm et 3 cm.

Déterminons les valeurs de x pour lesquelles le périmètre

de ce rectangle est strictement inférieur à 20 cm :

Le périmètre est égal à 2(x + 3), soit  2x + 6.

 

 

Cela se représente graphiquement par :

Si  x < 7, le périmètre du rectangle est strictement inférieur à 20 cm.

 

Inéquations et multiplication par un nombre négatif  (3e)

Exemple

 

on inverse l'ordre :

Cela se représente graphiquement par :

      

Les solutions de l'inéquation sont les nombres supérieurs ou égaux à 2.