Note : Nous allons considérer dans cette page toutes les mathématiques écrites en arabe de 700 à 1400, particulièrement celles de certains mathématiciens de renom qui étaient perses (iraniens) et pour lesquels la langue arabe était imposée.

Voici les chiffres arabes qui ont été créés en Inde, mais qui ont changé de forme au fur et à mesure des différentes retranscriptions. N'oublions pas le zéro dont nous parlons plus loin. Ils continueront à évoluer jusqu'à leur passage en Europe où vers les XVème et XVIème siècles, ils prendront la forme qu'on leur connaît aujourd'hui. Les Arabes ont utilisé le système de numération indien et permis une très large diffusion des chiffres en Occident.

Le peuple arabe a joué un rôle fondamental dans l'histoire des mathématiques : en reprenant les acquis des sciences grecques et indiennes et en les améliorant, il a permis le renouveau scientifique européen en algèbre comme en géométrie... Bagdad (Irak actuel) fut même la capitale culturelle du monde. Les deux grandes réussites des mathématiques musulmanes sont : l'algèbre moderne et l'aboutissement de la trigonométrie.

Les Arabes reprirent les chiffres utilisés en Inde (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Avec les connaissances des Indiens, ils initièrent notre système numéral actuel. Voici un extrait de la table des chiffres "indo-arabes" :

Ils utilisèrent le zéro pour indiquer un ordre... (exemple : 109) Le zéro était appelé en arabe "Sifr" qui devint le mot chiffre.

Les mathématiciens arabes ont étudié les nombres premiers (ceux qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes) exemples : 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 19; 31... Ils ont ainsi poursuivi les recherches des Grecs. Ils établirent que tout nombre entier peut s'écrire en produit de facteurs premiers.

Les Arabes manient très aisément les opérations de base sur les nombres entiers et les fractions et fondent l'algèbre moderne. Ils seront des spécialistes des équations.

Un mathématicien ira même jusqu'à résoudre un système de 210 équations à 10 inconnues.

Un autre émet l'idée que l'équation x³ + y³ = z³ n'a pas de solutions entières, ce qui deviendra plus tard la célèbre conjecture de Fermat.

On commence à user de la méthode par récurrence, en particulier dans les formules :

1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1) 2

;

1² + 2² + 3² + ... + n² =

n(n + 1)(2n + 1) 6

;

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)².

Les Arabes développent considérablement la trigonométrie. Ils définissent clairement les sinus, cosinus, tangente et établissent les fameuses formules :

tan α =

sin α cos α

; (sin α)² + (cos α)² = 1;

cos (a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b;
sin (a + b) = sin a × cos b + sin b × cos a;
cos 2α = 1 − 2(sin α)²; sin 2α = 2sin α cos α; etc...
Jusque là, la trigonométrie n'avait été qu'une difficile méthode basée sur les arcs de cercle et utilisée par le grand astronome grec Ptolémée.

Les Arabes travaillent aussi sur les entiers et découvrent d'autres couples de nombres amicaux* que (220 ; 284) : (17296 ; 18416) et (9363584 ; 9437056).
*voir Pythagore

Quelques grands mathématiciens arabe :

AL-KHWARIZMI ou HUWARIZMI (788 - 850), persan : Il écrit un livre "Al-Jabr" d'où vient le mot Algèbre. Cet ouvrage est considéré comme le meilleur exposé élémentaire de l'algèbre jusqu'à l'avènement des temps modernes. Il traite aussi d'arithmétique, d'astronomie, de géographie et de calendrier dans d'autres livres. Il établit des tables de sinus. C'est du nom "Al-Khwarizmi" latinisé que vient le mot Algorithme, procédé de calcul de caractère répétitif. Voir aussi certaines approximations de π

THABIT-BEN-QURRA (826 - 901), arabe : C'est un célèbre traducteur des œuvres grecques. Entre autres, il précise à nouveau l'aire d'un segment de parabole (déjà approximé par Archimède). Il écrit sur la théorie des nombres et l'adapte aux rapports entre quantités géométriques. Il prouve aussi la théorie des leviers. Il nous a légué une généralisation du théorème de Pythagore .

AL-BATTÂNÎ (850 - 929), arabe : Il écrit un recueil d'observation d'astronomie!... Il y fait un grand usage de la trigonométrie (sinus, cosinus, tangente et cotangente). On lui doit la formule : tan α =  sin α cos α  .

ABOUL-WAFA (940 - 998), iranien : Il effectue les constructions fondamentales à l'aide de la règle et du compas et améliore la trigonométrie. On lui doit les formules : sin(a + b) = sin a × cos b + sin b × cos a ; cos 2α = 1 − 2(sin α)² ; sin 2α = 2sin α cos α ;...

AL-KARKHI (vers 960 - 1024), persan : Son œuvre ouvre la porte à des études systématiques des équations de degré 3 et 4.

AL-BIRUNI (973 - 1048), persan : Il est l'auteur d'une histoire de l'Inde qui fournit le meilleur compte-rendu que nous possédons sur les mathématiques indiennes.

Omar KHAYYÂM (1048 - 1123), persan : Il est à la fois homme de lettres, astronome, mathématicien et physicien. C'est l'un des plus grands poètes persans. Il écrit 14 ouvrages scientifiques. Seuls deux nous sont parvenus. Le premier traite de la géométrie d'Euclide et de ses postulats (ou axiomes). Dans l'autre, il étudie les équations du second degré, mais aussi celles du troisième et quatrième degré. Khayyâm utilise assez souvent un équivalent du triangle de Pascal mais donne aussi certaines solutions géométriques aux équations. Il est à l'origine de la notion de polynôme. Il considère déjà que le rapport de deux grandeurs de même nature est toujours un nombre.

AL-TUSI (1201 – 1274), persan : Il fait de nombreuses traductions et adaptations d'ouvrages mathématiques antiques en arabe et en persan. Il est certainement le plus célèbre maître de la trigonométrie plane et sphérique.

AL-KASHI (vers 1400, mort en 1429), persan : Il fait la synthèse des mathématiques arabes depuis sept siècles : les liens entre l'algèbre et la géométrie, les liens entre l'algèbre et la théorie des nombres, la trigonométrie, l'analyse combinatoire (étude des différentes façons de combiner des éléments), la résolution des équations par radicaux (seulement avec les quatre opérations et les racines carrées, cubiques...). Il réussit un calcul de π avec 16 décimales, record qui ne sera dépassé qu'à la fin du XVIème siècle. Voir aussi certaines approximations de π