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Maths et catégories de nombres


Sommaire

1) Introduction
2) Les nombres entiers naturels
3) Les nombres entiers relatifs
4) Les nombres décimaux
5) Les nombres rationnels, dont les fractions
6) Les nombres irrationnels
7) Les nombres réels
8) Les nombres complexes


1) Introduction :

Les ensembles de nombres sont "gigognes", comme les poupées, on peut classer les nombres entiers naturels dans les nombres entiers relatifs qui sont eux-mêmes des nombres décimaux. Ceux-ci sont, à leur tour, des nombres rationnels qui sont enfin des nombres réels.

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2) Les nombres entiers naturels :

Les nombres entiers naturels sont des nombres d'une suite de premier terme 0 et tels qu'un terme est égal à la somme du précédent et de 1 :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 10 ; 11 ; ... ; 256 ; ...
Il existe une infinité de nombres entiers naturels.

Certains d'entre eux sont des nombres premiers, d'autres sont des nombres parfaits, d'autres encore sont des nombres palindromes et des couples d'entiers peuvent caractériser des nombres premiers entre eux ou des nombres amicaux.

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Les nombres premiers :

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 sont les nombres premiers inférieurs à 100.
Il existe une méthode pour savoir si un nombre est premier ou non, c'est le crible d'Ératosthène.

Voici quelques grands nombres premiers :
Un nombre de Fermat en 1640 : 616 318 177.
Un nombre d'Euler en 1732 : 231 − 1 = 2 147 483 647.
Un nombre de 1963 : 211 213 − 1 avec 3 376 chiffres.
Un nombre de 1971 : 219 937 − 1 avec 6 002 chiffres.
Un record de 1999 : 26 972 593 − 1 avec 2 098 960 chiffres.
Ce record a été évidemment calculé par ordinateur. Une association offre des milliers de dollars pour chaque record battu !

Les nombres premiers se font plus rares dès qu'ils deviennent plus grands :
Entre 1 et 10, il y a 40 % de nombres premiers.
Entre 1 et 100, il y en a 25 %.
Entre 1 et 1 000, on en trouve 14,4 %.
Entre 1 et 1 000 000 000, il n'y en a plus que 4,8 %.

Deux nombres premiers sont jumeaux si leur différence est égale à 2.
Voici quelques paires de nombres premiers jumeaux  :
(3 ; 5) ; (5 ; 7) ; (11 ; 13) ; (17 ; 19) ; (29 ; 31).

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Les nombres parfaits :

Les nombres parfaits sont des nombres entiers qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs stricts.
6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Entre 0 et 10 000, il n'existe que 4 nombres parfaits : 6 ; 28 ; 496 et 8128.
Les Grecs découvrirent ces quatre premiers nombres parfaits.

Euclide a établi une proposition qui permet d'en trouver quelques-uns :
Pour tout nombre n, si 1 + 2 + 22 + ... + 2n est un nombre premier,
alors le nombre 2n(1 + 2 + 22 + ... + 2n) est un nombre parfait.

Ce n'est que 1500 ans plus tard que le cinquième nombre parfait fut découvert : 33 550 336.
Le sixième est 8 589 869 056. Nous en connaissons quarante. En voici un qui est formé de 1373 chiffres : 2216 091(2216 090 − 1).
Ce sont tous des nombres de la forme 2n − 1(2n − 1)2n − 1 est un nombre premier.

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Les nombres palindromes :

Ce sont des nombres entiers qui se lisent indifféremment dans les deux sens.
101 ; 22 ; 3663 ; 21012 sont des nombres palindromes.

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Les nombres premiers entre eux :

Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1.

7 et 13 n'ont que 1 comme diviseur commun donc 7 et 13 sont premiers entre eux.
12 et 32 ont plusieurs diviseurs communs : 1 ; 2 et 4 donc 12 et 32 ne sont pas premiers entre eux.

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Les nombres amicaux :

(220 ; 284) est un couple de nombres amicaux car 284 est égal à la somme des diviseurs stricts de 220, et réciproquement.
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 ;
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.
(17 296 ; 18 416) et (9 363 584 ; 9 437 056) sont d'autres couples de nombres amicaux découverts ou "redécouverts" respectivement par Fermat et Descartes.
Le couple (1184 ; 1210) n'a été découvert qu'en 1866 par Niccolo Paganini à l'âge de 16 ans.
Aujourd'hui, on a recherché par ordinateur de nouveaux couples et on en a trouvé plus de 2 000 000.

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3) Les nombres entiers relatifs :

Les nombres entiers relatifs sont des nombres entiers précédés d'un signe (+ ou −) ou sans signe.
0 ; 258 ; 49 762 ; −12 et −265 sont des nombres entiers relatifs.

Les nombres entiers relatifs qui ont des signes + sont des entiers positifs.
+ 5 = 5 ; + 189 ; 0 ; + 6 521 ; 78 et 892 sont des entiers positifs.
Les nombres entiers relatifs qui ont des signes sont des entiers négatifs.
− 25 ; − 5698 ; −3 ; 0 et −56 sont des entiers négatifs.

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4) Les nombres décimaux :

Un nombre décimal est un nombre qui peut se mettre sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
7,42 est un nombre décimal car 7,42 = 
742
100
.
0 ; 15 ; 18,458 ; 9,05 ; 14,1 ; 478 et 896,24 sont des nombres décimaux.
−56,27 est un nombre décimal relatif.
C'est seulement en 1582 que le mathématicien flamand Simon Stevin proposa d'employer les nombres décimaux dans les calculs. Les écritures restèrent encore longtemps très diverses et ce n'est que le 10 décembre 1799 que l'on obtint un système métrique décimal.

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Les puissances de 10 :

10n = 10.....0 (n zéros) ; 10n = 0,0.....01 (n zéros) ;
101 = 10 ; 10−1 = 0,1 ; 100 = 1.

Les puissances de 10 permettent de simplifier l'écriture des grands nombres (en astronomie) ou des très petits nombres (en microbiologie...).

Par exemple : 283 000 000 000 = 2,83 × 1011 ; 0,00568 = 5,68 × 10−3.

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Multiples et sous-multiples d'une unité :

Voici certaines puissances de 10 avec les préfixes qui définissent les multiples et les sous-multiples des unités concernées :

puissances de 10 10 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024
préfixe déca hecto kilo méga giga téra peta exa zetta yotta
abréviation da h k M G T P E Z Y

puissances de 10 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24
préfixe déci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto
abréviation d c m µ n p f a z y

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Les dimensions de l'univers :

En prenant 1 m comme unité de base, étudions quelques ordres de grandeur :

3 × 102 pour la hauteur de la tour Eiffel (320 m = 3,2 × 102 m) ;
105 pour la distance Paris-Orléans (126 000 m = 1,26 × 105 m) ;
107
pour le diamètre de la Terre (1,3 × 107 m) ;
109
pour le diamètre du Soleil (1,4 × 109 m) ;
1011 pour la distance Terre-Soleil (1,5 × 1011 m) ;
1013 pour la distance Pluton-Soleil ;
1021 pour le diamètre de notre galaxie ;
1026 pour le rayon de l'Univers visible.

10−3 pour un grain de sable ;
10−6 pour une bactérie ;
10−7 pour le virus de la grippe ;
10−10 pour le diamètre de l'atome d'hydrogène ;
10−14 pour le noyau d'atome ;
10−15 pour un proton.

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5) Les nombres rationnels, dont les fractions :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'un rapport de deux nombres entiers.

5 ; 
7
3
 ; 15,26 ; 
189
25
 ; −
1
6
 sont des nombres rationnels.

Les fractions ont une longue histoire :

Les Babyloniens utilisaient des fractions de dénominateur 60, 60²...
Les Égyptiens n'utilisaient que des fractions de numérateur 1, à l'exception de la fraction 2⁄3.
Les Grecs représentaient les nombres géométriquement, ils ont donc considéré les fractions comme des rapports de longueur, ce qui les a conduits aux nombres rationnels.
Les Romains utilisent une notation où le dénominateur est au-dessus du numérateur, ce qui est très mal commode.
Les Arabes jusqu'au Xème siècle ne considèrent pas les fractions comme des nombres, mais comme des opérateurs.
Les Indiens commencent à superposer les numérateur et dénominateur.
Vers 1150, un Arabe les sépare par une barre de fraction.
Al-Kashi théorisera l'utilisation des fractions décimales (dont le dénominateur est une puissance de 10).

On peut dire que c'est au XVIIème siècle que les fractions ont acquis leur forme d'aujourd'hui.

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6) Les nombres irrationnels :

Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction de deux nombres entiers.
 2 ;  3 et π sont des nombres irrationnels.
On s'est aperçu dès l'Antiquité que certains nombres ne pouvaient pas s'écrire sous forme de fraction.
En effet, les racines carrées et le nombre π sont connus depuis les Babyloniens .
Evidemment, les symboles n'existent pas encore et on n'en connaît que des approximations. L'allemand Rudolph invente le symbole " " vers 1525.
Le suisse Leonhard Euler vulgarise le symbole π vers 1750, après que William Jones l'ait utilisé en 1706.

On distingue parmi les nombres irrationnels :

  • les nombres algébriques, qui sont solution d'une équation algébrique avec des coefficients entiers, comme  2 qui est solution de l'équation x² = 2 ;
  • les nombres transcendants, qui ne le sont pas, comme π.

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7) Les nombres réels :

Les nombres réels sont ceux que l'on rencontre dans la vie courante.
Ils sont composés des nombres rationnels donc des entiers naturels, des entiers relatifs, des décimaux, des fractions, mais aussi des nombres irrationnels.

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8) Les nombres complexes :

Avec les nombres réels, il n'y a pas de nombre négatif qui ait une racine carrée.
Un nombre i qui est tel que i² = −1 a longtemps été appelé "nombre impossible". Il est aujourd'hui dit imaginaire.
Les nombres de la forme a + ib (où a et b sont des nombres réels) sont appelés nombres complexes. Ils sont composés de la somme d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire.
C'est l'italien Rafaele Bombelli qui les emploie en 1572 sans la notation actuelle, avec l'idée de  −1.
Le français D'Alembert leur donnera la forme générale a + b −1.
Le suisse Euler introduira la notation a + ib et l'allemand Gauss en généralisera l'utilisation.

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