Les ensembles de nombres sont "gigognes",
comme les poupées, on peut classer les nombres entiers
naturels dans les nombres entiers relatifs qui sont
eux-mêmes des nombres décimaux. Ceux-ci sont, à leur
tour, des nombres rationnels qui sont enfin des
nombres réels.

Les nombres entiers
naturels sont des nombres d'une
suite de premier terme 0 et tels qu'un terme est égal
à la somme du précédent et de 1 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
... ; 10 ; 11 ; ... ; 256 ; ... Il
existe une infinité de nombres entiers naturels.
Certains d'entre eux sont des nombres
premiers, d'autres sont des nombres
parfaits, d'autres encore sont des nombres
palindromes et des
couples d'entiers peuvent caractériser des nombres
premiers entre eux
ou des nombres amicaux.

Les nombres
premiers sont les nombres entiers qui
ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. 2 ;
3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ;
41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ;
83 ; 89 ; 97 sont les nombres premiers inférieurs à
100. Il existe une méthode pour savoir si un
nombre est premier ou non, c'est le crible
d'Ératosthène.
Voici quelques grands nombres premiers : Un
nombre de Fermat en 1640 : 616 318 177. Un nombre
d'Euler en 1732 : 231 − 1 = 2 147 483 647. Un
nombre de 1963 : 211 213 − 1
avec 3 376 chiffres. Un
nombre de 1971 : 219 937 − 1 avec 6 002
chiffres. Un record de 1999 : 26 972 593 − 1
avec 2 098 960 chiffres. Ce
record a été évidemment calculé par ordinateur. Une
association offre des milliers de dollars pour
chaque record battu !
Les nombres premiers se font plus rares dès
qu'ils deviennent plus grands : Entre 1 et 10, il
y a 40 % de nombres premiers. Entre 1 et 100, il
y en a 25 %. Entre 1 et 1 000, on en trouve 14,4 %. Entre
1 et 1 000 000 000, il n'y en a plus que
4,8 %.
Deux nombres premiers sont
jumeaux si leur
différence est égale à 2. Voici quelques paires de
nombres premiers jumeaux
: (3 ; 5) ; (5 ; 7) ;
(11 ; 13) ; (17 ; 19) ; (29 ; 31).

Les nombres parfaits sont des nombres entiers qui
sont égaux à la somme de leurs diviseurs
stricts. 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Entre
0 et 10 000, il n'existe que 4 nombres
parfaits : 6 ; 28 ; 496 et 8128. Les Grecs
découvrirent ces quatre premiers nombres
parfaits.
Euclide a établi une proposition qui permet d'en
trouver quelques-uns : Pour tout nombre
n, si 1 + 2 + 22 + ... + 2n est un
nombre premier,
alors
le nombre 2n(1 + 2 + 22 + ... + 2n)
est un nombre parfait.
Ce n'est que 1500 ans plus tard que le cinquième
nombre parfait fut découvert : 33 550 336. Le
sixième est 8 589 869 056. Nous en connaissons
quarante. En voici un qui est formé de 1373 chiffres :
2216 091(2216 090 − 1). Ce
sont tous des nombres de la forme
2n − 1(2n − 1)
où 2n − 1 est un nombre
premier.

Ce sont des nombres entiers qui se lisent
indifféremment dans les deux sens. 101 ; 22 ;
3663 ; 21012 sont des nombres palindromes.

Deux nombres entiers sont premiers entre
eux s'ils n'ont pas d'autres diviseurs communs
que 1.
7 et 13 n'ont que 1 comme diviseur commun donc 7
et 13 sont premiers entre eux. 12 et 32 ont
plusieurs diviseurs communs : 1 ; 2 et 4 donc 12 et
32 ne sont pas premiers entre eux.

(220 ; 284) est un
couple de nombres amicaux car 284 est égal
à la somme des diviseurs stricts de 220, et
réciproquement. 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 ; 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142. (17 296 ; 18 416)
et (9 363 584 ; 9 437 056)
sont d'autres couples de nombres amicaux découverts
ou "redécouverts" respectivement par Fermat
et Descartes. Le
couple (1184 ; 1210) n'a été
découvert qu'en 1866 par Niccolo Paganini à l'âge de
16 ans. Aujourd'hui, on
a recherché par ordinateur de nouveaux couples et on en
a trouvé plus de 2 000 000.

Les nombres entiers
relatifs
sont des nombres entiers précédés d'un signe (+ ou −) ou sans signe. 0 ; 258 ;
49 762 ; −12
et −265 sont des nombres entiers relatifs.
Les nombres entiers relatifs qui ont des signes +
sont des entiers positifs. + 5 = 5 ; + 189 ; 0 ; + 6 521 ;
78 et 892 sont des entiers positifs. Les
nombres entiers relatifs qui ont des signes − sont des
entiers négatifs. − 25 ; − 5698 ;
−3 ; 0 et −56
sont des entiers négatifs.

Un nombre décimal est un nombre qui peut
se mettre sous forme d'une fraction dont le
dénominateur est une puissance de 10.
7,42 est un
nombre décimal car 7,42 = |
|
. | 0 ; 15 ;
18,458 ; 9,05 ; 14,1 ; 478 et 896,24 sont des
nombres décimaux. −56,27 est un nombre décimal
relatif. C'est seulement en 1582 que le
mathématicien flamand Simon
Stevin
proposa d'employer
les nombres décimaux dans les calculs. Les écritures
restèrent encore longtemps très diverses et ce n'est
que le 10 décembre 1799 que l'on obtint un système
métrique décimal.

10n = 10.....0 (n zéros) ;
10−n = 0,0.....01
(n zéros) ; 101 = 10 ;
10−1 = 0,1 ; 100 = 1.
Les puissances de 10 permettent de simplifier
l'écriture des grands nombres (en astronomie) ou des
très petits nombres (en microbiologie...).
Par exemple : 283 000 000 000 = 2,83 × 1011 ;
0,00568 = 5,68 × 10−3.

Voici certaines puissances de 10 avec les
préfixes qui définissent les multiples et les
sous-multiples des unités concernées :
puissances de 10 |
10 |
102 |
103 |
106 |
109 |
1012 |
1015 |
1018 |
1021 |
1024 |
préfixe |
déca |
hecto |
kilo |
méga |
giga |
téra |
peta |
exa |
zetta |
yotta |
abréviation |
da |
h |
k |
M |
G |
T |
P |
E |
Z |
Y |
puissances de 10 |
10−1 |
10−2 |
10−3 |
10−6 |
10−9 |
10−12 |
10−15 |
10−18 |
10−21 |
10−24 |
préfixe |
déci |
centi |
milli |
micro |
nano |
pico |
femto |
atto |
zepto |
yocto |
abréviation |
d |
c |
m |
µ |
n |
p |
f |
a |
z |
y |

En prenant 1 m comme unité de base, étudions
quelques ordres de grandeur :
3 × 102 pour la hauteur de la tour
Eiffel (320 m = 3,2 × 102 m) ; 105
pour la distance Paris-Orléans
(126 000 m = 1,26 × 105 m) ; 107
pour le diamètre de la Terre
(1,3 × 107 m) ; 109 pour le
diamètre du Soleil (1,4 × 109 m) ; 1011
pour la distance Terre-Soleil
(1,5 × 1011 m) ; 1013 pour
la distance Pluton-Soleil ; 1021 pour
le diamètre de notre galaxie ; 1026
pour le rayon de l'Univers visible.
10−3 pour un grain de sable ; 10−6
pour une bactérie ; 10−7
pour le virus de la grippe ; 10−10
pour le diamètre de l'atome
d'hydrogène ; 10−14 pour le noyau
d'atome ; 10−15 pour un
proton.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut
s'écrire sous forme d'un rapport de deux nombres
entiers.
5 ; |
|
; 15,26 ; |
|
; − |
|
sont des nombres
rationnels. |
Les fractions ont une longue histoire :
Les Babyloniens utilisaient des fractions
de dénominateur 60, 60²... Les Égyptiens
n'utilisaient que des fractions de numérateur 1, à
l'exception de la fraction 2⁄3. Les Grecs
représentaient les nombres géométriquement, ils ont
donc considéré les fractions comme des rapports de
longueur, ce qui les a conduits aux nombres
rationnels. Les Romains utilisent une
notation où le dénominateur est au-dessus du
numérateur, ce qui est très mal commode. Les
Arabes jusqu'au Xème siècle ne considèrent
pas les fractions comme des nombres, mais comme des
opérateurs. Les Indiens commencent à
superposer les numérateur et dénominateur. Vers
1150, un Arabe les sépare par une barre de
fraction. Al-Kashi théorisera l'utilisation des
fractions décimales (dont le dénominateur est une
puissance de 10).
On peut dire que c'est au XVIIème siècle que les
fractions ont acquis leur forme
d'aujourd'hui.

Les nombres
irrationnels sont des nombres qui ne
peuvent pas s'écrire sous forme de fraction de deux
nombres entiers. √ 2 ; √ 3 et π sont des
nombres irrationnels. On s'est aperçu dès
l'Antiquité que certains nombres ne pouvaient pas
s'écrire sous forme de fraction. En effet, les
racines carrées et le nombre π sont connus depuis les Babyloniens
. Evidemment, les symboles n'existent
pas encore et on n'en connaît que des approximations.
L'allemand Rudolph invente le symbole "√ " vers
1525. Le suisse Leonhard
Euler vulgarise le symbole
π vers 1750, après que William Jones l'ait utilisé en
1706.
On distingue parmi les nombres irrationnels :
- les nombres algébriques, qui sont
solution d'une équation algébrique avec des
coefficients entiers, comme √ 2 qui est solution de
l'équation x² = 2 ;
- les nombres transcendants, qui ne le
sont pas, comme π.

Les nombres réels sont ceux que l'on
rencontre dans la vie courante. Ils sont composés
des nombres rationnels donc des entiers naturels, des
entiers relatifs, des décimaux, des fractions, mais
aussi des nombres irrationnels.

Avec les nombres réels, il n'y a pas de nombre
négatif qui ait une racine carrée. Un nombre
i qui est tel que i² = −1 a
longtemps été appelé "nombre impossible". Il est
aujourd'hui dit imaginaire. Les nombres de la forme
a + ib (où a et b
sont des nombres réels) sont appelés nombres
complexes. Ils sont composés de la somme d'un
nombre réel et d'un nombre imaginaire. C'est l'italien Rafaele
Bombelli
qui les emploie en 1572
sans la notation actuelle, avec l'idée de √ −1. Le français D'Alembert
leur donnera la forme générale a + b√ −1. Le suisse Euler
introduira la notation a + ib et l'allemand Gauss
en généralisera
l'utilisation.

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