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lundi 10 décembre 2018
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Maths et nombre d'Euler


Sommaire

1) Définition du nombre e
2) Origine de la lettre e
3) L'étude de e en tant que nombre
4) Les cinquante premières décimales de e
5) Exemples d'approximations du nombre e
6) Quelques formules avec le nombre e


1) Définition du nombre e :

Le nombre e est la base des logarithmes népériens.
e ≈ 2,718.

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2) Origine de la lettre e :

Le suisse Euler a donné vers 1750 la lettre e pour ce nombre, celle de la première lettre de son nom, il en a déduit la fonction exponentielle.

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3) L'étude de e en tant que nombre :

En 1761, le suisse Lambert démontre que e est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.
En 1873, le français Charles Hermite démontre que e est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers.

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4) Les cinquante premières décimales de e :

e ≈ 2,  71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
Demichel a déterminé plus de 50 millions de décimales pour le nombre e en 1998.

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5) Exemples d'approximations du nombre e :

878
323
 ≈ 2,71826... ; 
2721
1001
 ≈ 2,7182817...
Ces deux fractions sont de bonnes approximations du nombre e avec respectivement 4 et 6 décimales exactes.

L'une des plus célèbres suites de nombres qui s'approchent du nombre e est celle de Newton , découverte en 1665 :
e = 1 + 
1
1
 + 
1
1 × 2
 + 
1
1 × 2 × 3
 + 
1
1 × 2 × 3 × 4
 + 
1
1 × 2 × 3 × 4 × 5
 ...
Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre e.

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

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6) Quelques formules avec le nombre e :

ln e = 1 ;  ln ex = x ;  ex × ey = ex + y.

La plus célèbre formule avec e est la formule d'Euler que le Suisse trouva sur des indications de De Moivre : e = −1.
C'est une relation simple dans la formulation qui relie trois nombres remarquables des mathématiques, le nombre e, l'imaginaire i et le nombre π.

Euler a aussi trouvé sur la même base une formule qui relie le nombre e et la trigonométrie : eix = cos x + i sin x.

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