Maths et nombres

Sommaire

1)	Définition du nombre e
2)	Origine de la lettre e
3)	L'étude de e en tant que nombre
4)	Les cinquante premières décimales de e
5)	Exemples d'approximations du nombre e
6)	Quelques formules avec le nombre e

1) Définition du nombre e :

Le nombre e est la base des logarithmes népériens.
e ≈ 2,718.

2) Origine de la lettre e :

Le suisse Euler a donné vers 1750 la lettre e pour ce nombre, celle de la première lettre de son nom, il en a déduit la fonction exponentielle.

3) L'étude de e en tant que nombre :

En 1761, le suisse Lambert démontre que e est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.
En 1873, le français Charles Hermite démontre que e est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers.

4) Les cinquante premières décimales de e :

e ≈ 2,

71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995

Demichel a déterminé plus de 50 millions de décimales pour le nombre e en 1998.

5) Exemples d'approximations du nombre e :

878 323

≈ 2,71826... ;

2721 1001

≈ 2,7182817...

Ces deux fractions sont de bonnes approximations du nombre e avec respectivement 4 et 6 décimales exactes.

L'une des plus célèbres suites de nombres qui s'approchent du nombre e est celle de Newton , découverte en 1665 :

e = 1 +

1 1

+

1 1 × 2

+

1 1 × 2 × 3

+

1 1 × 2 × 3 × 4

+

1 1 × 2 × 3 × 4 × 5

...

Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre e.

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

6) Quelques formules avec le nombre e :

ln e = 1 ;  ln e^x = x ;  e^x × e^y = e^x + y.

La plus célèbre formule avec e est la formule d'Euler que le Suisse trouva sur des indications de De Moivre : e^iπ = −1.
C'est une relation simple dans la formulation qui relie trois nombres remarquables des mathématiques, le nombre e, l'imaginaire i et le nombre π.

Euler a aussi trouvé sur la même base une formule qui relie le nombre e et la trigonométrie : e^ix = cos x + i sin x.