C'est le nombre par lequel il faut multiplier le
diamètre du cercle pour obtenir sa circonférence.
Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du
cercle par son diamètre.
Le périmètre du cercle est
P = π × d où d est le diamètre.
On a aussi
P = 2 × π × r où r est le rayon du cercle.
Ce rapport de la circonférence du cercle par son
diamètre ne porta pas de nom pendant des
siècles.
Ludolph von Ceulen (vers
1600), William Oughtred (en 1647), Isaac
Barrow
(en 1670) utilisent
la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de
diamètre 1.
C'est l'anglais William Jones, en 1706,
qui utilise la lettre π en premier pour représenter le
rapport de la circonférence du cercle par son
diamètre.
π est le première lettre du mot grec
"periphereia" (circonférence) et de "perimetros"
(périmètre).
Ce nom est adopté et
vulgarisé par le suisse Leonhard
Euler
en 1748.
C'est seulement au
XVIIème
siècle que ce rapport, pour lequel on donnait déjà des
valeurs approchées, commence à être considéré comme un
nombre.
En 1761, le suisse Lambert démontre que π
est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais
l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres
entiers.
En 1882,
l'allemand Ferdinand
von Lindemann
démontre que π est
transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution
d'aucune équation algébrique avec des coefficients
entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la
fameuse "quadrature du cercle" (problème qui se pose
depuis l'Antiquité).
| π ≈ 3, |
14159 26535
89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825
34211 70679 |
Depuis l'Antiquité jusqu'à
aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du
nombre π.
Voici un tableau donnant une idée de
l'évolution de ces approximations :
| Nom du
mathématicien ou de la civilisation |
Valeur de π |
Nombre de décimales
exactes |
Date du
calcul |
| Babylone |
3 + 1/8 ≈ 3,125 |
1 |
− 1900 |
| Egypte |
(4/3)4 ≈ 3,160 |
1 |
− 1600 |
| Chine |
3 |
0 |
− 1200 |
| Bible |
3 |
0 |
− 550 |
| Archimède (grec) |
3,14185 |
3 |
− 250 |
| Hon Han Chu (chinois) |
√10 ≈ 3,16 |
1 |
130 |
| Ptolémée (grec) |
377/120 ≈ 3,1416 |
3 |
150 |
| Wang Fau (chinois) |
142/45 ≈ 3,15 |
1 |
250 |
| Liu
Hui (chinois) |
3,14159 |
5 |
260 |
| Tsu
Chung Chih (chinois) |
355/113 ≈ 3,141592 |
6 |
480 |
| Aryabhata (indien) |
3,14156 |
4 |
500 |
| Brahmagupta (indien) |
√10 ≈ 3,16 |
1 |
640 |
| Al
Khwarizmi (arabe) |
22/7 ≈ 3,1428 ;
3,1416 |
3 |
800 |
| Fibonacci (italien) |
864/275 ≈ 3,1418 |
3 |
1220 |
| Al
Kashi (arabe) |
|
16 |
1430 |
| Von Lauchen (allemand) |
3,14159265 |
8 |
1550 |
| Viète (français) |
3,1415926536 |
9 |
1593 |
| Romanus (hollandais) |
|
15 |
1593 |
| Van Ceulen (hollandais) |
|
34 |
1609 |
| Grienberger |
|
39 |
1630 |
| Sharp |
|
71 |
1699 |
| Machin (anglais) |
|
100 |
1706 |
| Dase (anglais) |
|
200 |
1844 |
| Shanks (anglais) |
|
528 |
1873 |
| Wrench et Fergusson |
|
808 |
1948 |
| Reitwiestner (Etats-Unis) |
|
2 037 |
1949 |
| Genuys |
|
10 000 |
1958 |
| Wrench et Shanks |
|
100 265 |
1961 |
| Guilloud et Bouyer |
|
1 001 250 |
1973 |
| Kanada et Tamura |
|
1 073 741 799 |
1994 |
| Kanada et Takahashi |
|
50 milliards |
1997 |
| Equipe de Kanada (Japon) |
|
1 241 milliards |
2002 | On peut
se demander quelle est l'utilité d'une telle recherche des
décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui
sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la
mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test
pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a
sans doute l'envie même de la recherche de l'infini...
Le grec Archimède , en 250 avant JC, est le premier à
donner une façon de calculer π.
Il a écrit un traité sur
la mesure du cercle où il calcule le rapport de la
circonférence sur le diamètre.
Pour cela,
il encadre un cercle par deux polygones réguliers,
un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui
sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces
deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus
les polygones réguliers ont de côtés, plus la
précision est grande. Archimède
utilisera des polygones de 96 côtés, il
trouvera les 3 premières décimales exactes de
π.
Jusqu'en 1600,
on continue à utiliser la méthode d'Archimède
mais avec un nombre impressionnant de côtés,
plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en
1609.
Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres
qui s'approchent du nombre π. Euler,
Gauss,
Machin, Newton
et Viète
ont cherché de telles suites. L'une des plus
célèbres est celle de l'allemand Leibniz,
découverte vers 1680 :
Il devient ainsi plus facile de
calculer le nombre π.
A présent, on utilise le principe des suites, mais on
bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable
puissance de calcul.
♦ Pour retenir les premières
décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques
lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de
chaque mot :
| Que |
j' |
aime |
à |
faire |
apprendre |
un |
nombre |
utile |
| 3, |
1 |
4 |
1 |
5 |
9 |
2 |
6 |
5 |
| aux |
sages, |
glorieux |
Archimède, |
artiste |
ingénieux, |
| 3 |
5 |
8 |
9 |
7 |
9 |
| toi |
de |
qui |
Syracuse |
aime |
encore |
la |
gloire. |
| 3 |
2 |
3 |
8 |
4 |
6 |
2 |
6 |
| Soit |
ton |
nom |
conservé |
par |
de |
savants |
grimoires. |
| 4 |
3 |
3 |
8 |
3 |
2 |
7 |
9 |
♦ π = PI, ses lettres sont un
peu magiques :
| P ou π
est la 16ème lettre de
l'alphabet. |
16 = 4² |
| I
est la 9ème lettre de
l'alphabet. |
9 = 3² |
| La somme de 16 et 9 est 25. |
25 = 5² |
| Le produit de 16 et 9 est
144. |
144 = 12² |
| Le quotient : 9 ⁄ 16 = 0,5625. |
0,5625 = 0,75² |
♦ Le quotient 355 / 113,
découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6
décimales exactes est aussi un peu magique.
|
|
a des chiffres dont la
somme est 6. |
3 + 3 = 6 ;
5 + 1 = 6 ;
5 + 1 = 6.
♦ Les mystiques se sont
toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.
Le nombre π
est celui que l'on rencontre le plus
souvent dans la vie quotidienne et dans la nature
puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un
calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une
aire ou un volume.
Or, les planètes, les plantes, les
animaux, les atomes ainsi que les constructions de
l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le
cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du
nombre π.
| 
