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Maths et nombre pi


Sommaire

1) Définition de π
2) Origine de la lettre π
3) L'étude de π en tant que nombre
4) Les cent premières décimales de π
5) Certaines approximations de π
6) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π
7) Quelques curiosités à propos de π
8) Le nombre π et la vie quotidienne


1) Définition de π :

C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre du cercle pour obtenir sa circonférence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.
Le périmètre du cercle est P = π × dd est le diamètre.
On a aussi P = 2 × π × rr est le rayon du cercle.

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2) Origine de la lettre π :

Ce rapport de la circonférence du cercle par son diamètre ne porta pas de nom pendant des siècles.
Ludolph von Ceulen (vers 1600), William Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de diamètre 1.
C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre π en premier pour représenter le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.
π est le première lettre du mot grec "periphereia" (circonférence) et de "perimetros" (périmètre).
Ce nom est adopté et vulgarisé par le suisse Leonhard Euler en 1748.

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3) L'étude de π en tant que nombre :

C'est seulement au XVIIème siècle que ce rapport, pour lequel on donnait déjà des valeurs approchées, commence à être considéré comme un nombre.
En 1761, le suisse Lambert démontre que π est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.
En 1882, l'allemand Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la fameuse "quadrature du cercle" (problème qui se pose depuis l'Antiquité).

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4) Les cent premières décimales de π :

π ≈ 3,  14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

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5) Certaines approximations de π :

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.
Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :
Nom du mathématicien ou de la civilisation Valeur de π Nombre de décimales exactes Date du calcul
Babylone 3 + 1/8  ≈  3,125 1 − 1900
Egypte (4/3)4 ≈ 3,160 1 − 1600
Chine 3 0 − 1200
Bible 3 0 − 550
Archimède (grec) 3,14185 3 − 250
Hon Han Chu (chinois) 10 ≈ 3,16 1 130
Ptolémée (grec) 377/120 ≈  3,1416 3 150
Wang Fau (chinois) 142/45 ≈  3,15 1 250
Liu Hui (chinois) 3,14159 5 260
Tsu Chung Chih (chinois) 355/113 ≈  3,141592 6 480
Aryabhata (indien) 3,14156 4 500
Brahmagupta (indien) 10 ≈ 3,16 1 640
Al Khwarizmi (arabe) 22/7 ≈  3,1428 ; 3,1416 3 800
Fibonacci (italien) 864/275 ≈  3,1418 3 1220
Al Kashi (arabe)   16 1430
Von Lauchen (allemand) 3,14159265 8 1550
Viète (français) 3,1415926536 9 1593
Romanus (hollandais)   15 1593
Van Ceulen (hollandais)   34 1609
Grienberger   39 1630
Sharp   71 1699
Machin (anglais)   100 1706
Dase (anglais)   200 1844
Shanks (anglais)   528 1873
Wrench et Fergusson   808 1948
Reitwiestner (Etats-Unis)   2 037 1949
Genuys   10 000 1958
Wrench et Shanks   100 265 1961
Guilloud et Bouyer   1 001 250 1973
Kanada et Tamura   1 073 741 799 1994
Kanada et Takahashi   50 milliards 1997
Equipe de Kanada (Japon)   1 241 milliards 2002
On peut se demander quelle est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini...

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6) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

Le grec Archimède , en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.
Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande. Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.
Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites. L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :
π
4
 = 1 − 
1
3
 + 
1
5
 − 
1
7
 + 
1
9
 − 
1
11
 + 
1
13
 − 
1
15
 ... 
Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

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7)  Quelques curiosités à propos de π :

♦ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :

Que  j' aime  à  faire  apprendre  un  nombre  utile
3, 1 4 1 5 9 2 6 5
aux  sages,  glorieux  Archimède,  artiste  ingénieux,
3 5 8 9 7 9
toi  de  qui  Syracuse  aime  encore  la  gloire.
3 2 3 8 4 6 2 6
Soit  ton  nom  conservé  par  de  savants  grimoires.
4 3 3 8 3 2 7 9

♦ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :
P ou π est la 16ème lettre de l'alphabet. 16 = 4²
I est la 9ème lettre de l'alphabet. 9 = 3²
La somme de 16 et 9 est 25. 25 =  5²
Le produit de 16 et 9 est 144. 144 = 12²
Le quotient : 9 ⁄ 16 = 0,5625. 0,5625 = 0,75²

♦ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.

355
113
 a des chiffres dont la somme est 6.

3 + 3 = 6 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6.

♦ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.

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8) Le nombre π et la vie quotidienne  :

Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.
Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.

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